数学分析教学大纲2007.doc

数学分析课程教学大纲 数学分析（一） ZB06102 课程名称 数学分析（二） 课程编号 ZB06103 数学分析（三） ZB06104 课程性质：必修 总学时：72，108，108 学分数：4，6，6 开课学期：1、2、3 适用专业：数学系本科各专业 先修课程：中学数学 一、课程简介 微积分是微分学(Differental Calcules)和积分学(Integral Calcules)的统称，英文简称Calculs，意为计算，这是因为微积分早期主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为数学分析(Mathematiacl Analgsis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 微积分是数学史上最伟大的发现。它是在十七世纪下半叶由牛顿和莱布尼兹分别在研究力学问题和几何问题上创立的。恩格斯指出：笛卡儿的变数是数学中的转折点，有了变数运动便进入了数学；有了变数，辩正法便进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。而它们也就立刻产生，并且由牛顿和莱布尼兹大体完成，但不是由他们发明的。的确，微积分从古稀腊时期开始萌芽，到十六世纪中叶正式酝两。十七世纪上半叶的奠基工作直到十七世纪下半叶创立以及十九世纪的理论严密化，经历了漫长的时期，凝聚了各国数学家智慧和劳动。 数学分析的函数，主要是连续函数为研究对象，包括函数分学、积分学和极数论三大主体内容。极限是贯串课程始终的一条主线。 对于纷繁复杂的客观世界而言，初等数学能做的实在是太少了，因为它研究的是直的、均匀的和线性的对象。而微积分则可以研究更为复杂的、弯曲的、非均匀的和非线性的对象。牛顿曾经用微积分的工具，从引力定律推出 总结出的行星运动定律。在科学史上，被誉为人类理性的一个光辉胜利。微积分的成功模式是“曲—直—曲”，非常富有辩证色彩，可以说将曲与直的关系吃透了。曲与直，将非线性与线性的相互关系与相互作用这一思路延续下去，一直贯串到一些深奥而重要的现代数学分支中，成为一条基本的红线，成为它们有力的武器。数学分析（Mathematical Analysis）是大学数学各专业的一门重要基础课。计划开设三个学期（分别在第一、二、三学期），课时分别为72、108、108，共288学时。学分分别为4分、6分、6分。其主要内容为：变量与函数;极限论;一元函数微积分学基本理论; 多元函数微积分学基本理论;数项级数及函数项级数;幂级数;富里叶级数;广义积分和含参变量的积分等。 二、课程的目的和任务 本课程是大学数数学专业的一门重要基础课。它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识；本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的阶梯。 通过本课程的讲授与作业练习应使学生： （1）对极限的思想和方法有较深的理解和认识，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成； （2）正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析的论证方法，获得较熟练的演算技能和应用数学知识的能力。 三、本课程的基本要求及内容 第一章 变量与函数 (8学时) （一）基本要求 1、正确理解和掌握函数概念、函数的运算及函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性等性质; 2、掌握基本初等函数的定义、性质及初等函数的定义。 （二）课程内容 1、函数概念及函数的几何特性； 2、复合函数与反函数； 3、基本初等函数与初等函数; 4、几个常用的非初等函数（符号函数、狄里赫雷数、整数部分函数等）。 第二章 极限与连续 (34学时) （一）基本要求 1、理解和掌握数列极限与数极限及它们的性质； 2、理解和掌握无穷小与无穷大的概念及它们的性质； 3、掌握求极限的基本方法（四则运算、两边夹法则、单调有界原理、重要极限等）; 4、理和掌握连续函数、一致连续函数的概念与性质，弄清函数间断点的分类; 5、掌握闭区间上连续函数的性质。 （二）课程内容 数列极限的定义及几何意义； 数列极限的局部性质及运算； 单调有界数列极限存在定理，一个重要极限（）。 函数极限的定义（包括单侧极限）及性质和运算； 两个重要极限： 无穷小与无穷大（定义、关系、性质、无穷小的比较和阶）； 函数连续的概念（一点处连续、单侧连续、区间上连续及间断点分类）; 函数在一点处连续的性质; 闭区间上连续函数的性质（有界性、介值性、最值性及一致连续性）； 10、初等函数的连续性。 第三章 关于实数的基本定理 (