概率论与数理统计C的习题集-计算题.doc

一、概率公式的题目 1、已知 求 解： 2、已知 求 解：。 3、已知随机变量，即有概率分布律， 并记事件。 求：（1）； （2） ； （3） 。解：（1）； （2） （3） 5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统，每种系统单独使用时，其有效的概率系统为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）失灵的条件下，有效的概率。 解：设“系统有效”, “系统有效”, , 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为，刮风（记作事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为，求。 解：； 。 7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 8. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 =(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 二、已知密度（函数）求概率的题目 1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ， 任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。 解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为 设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则.故有 2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为， 若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？ 解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以 。 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则， 三、分布函数、密度函数的题目 1、设随机变量X的分布函数为， (1) 求系数A ，B； (2) 求； (3) 求X的分布密度。 解：（1）由F(x)在处的右连续性知 解之得 （2） （3）因为，则 2设随机变量的分布函数为 ， 求：常数； ； 的密度函数。 解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以； （2）； （3） 。 3设连续性随机变量的分布函数为 　， 求：(1)常数A，B； (2)； (3) 的密度函数。 解：（1）由分布函数的右连续性及性质知： ，所以； （2）； （3） 。 5随机变量的概率密度为；求的概率密度． 、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y) 由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0 当y=x20时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-≤X≤) = 将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为 7（12分）设A、B为随机事件，且；令 求1、二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；2、判定X与Y是否相互独立 解： 0 1 0 1 因为，则X与Y不相互独立………12分 8维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5