概率论与数理统计期末总结.doc

概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： 在相同条件下可以重复进行； 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； 进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 包含关系 ，即事件A发生，导致事件B发生； 相等关系 ，即且； 和事件（也叫并事件） ，即事件A与事件B至少有一个发生； 积事件（也叫交事件） ，即事件A与事件B同时发生； 差事件 ，即事件A发生，同时，事件B不发生； 互斥事件（也叫互不相容事件） A、B满足，即事件A与事件B不同时发生； 对立事件（也叫逆事件） ，即。 1.4 事件的运算律 交换律 ； 结合律 ； 分配律 ； 幂等律 ； 差化积 ； 反演律（也叫德·摩根律）。 1.5 概率的公理化定义 设E是随机试验，为样本空间，对于中的每一个事件A，赋予一个实数P（A），称之为A的概率，P（A）满足： ； ； 若事件两两互不相容，则有 。 1.6 概率的性质 ； 若事件两两不互相容，则； ； 。 特别地，若，则； 。 1.7 古典概型 古典概率 设随机试验E满足： E的样本空间只有有限个样本点； 每个样本点的发生是等可能的， 则称此试验为古典概型或等可能概型。 古典概率。 1.8 事件的独立性 伯努利概型 若，则称事件A与事件B相互独立。 若，则称事件A、B、C相互独立。若前三式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。 若事件A与事件B相互独立，则也相互独立。 设随机试验E满足： 在相同条件下可重复进行次； 每次试验只有两个可能结果，A发生或A不发生，且每次A发生的概率相同； 每次试验是相互独立的， 则称这种试验为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 重伯努利试验中A发生次的概率为，其中。 1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率 ； 乘法公式 ； 全概率公式 ，其中，，，…，是的一个分割； 贝叶斯公式 （） 随机变量及其分布 2.1 随机变量 分布函数 随机变量是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。 分布函数为，其中为任意实数。 2.2 分布函数的性质 ，且，； 单调不减，即若，则； 右连续，即。 2.3 离散型随机变量 离散型随机变量的分布律为。也可以用表格表示 … … … … 也可以用矩阵表示，即 分布律的性质 （）； 。 2.4 几种常见的离散型随机变量的分布 （0-1）分布（也叫两点分布） 的分布律为 ，其中为参数。 二项分布 的分布律为 ，其中为参数。 泊松分布 或的分布律为 ，其中为参数。 2.5 连续型随机变量 连续型随机变量的分布函数为，其中且可积，称为的概率密度。 的性质： ； ； ； ； 当在点处连续时，。 2.6 几种常见的连续型随机变量的分布 均匀分布 的概率密度 的分布函数 指数分布 的概率密度 ，其中为常数。 的分布函数 正态分布 的概率密度 （）其中，为常数。 的分布函数 （4）标准正态分布 的概率密度 （） 的分布函数 若，则，且有计算公式。 2.7 随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 已知的分布律为，的分布律有以下两种情形： ①当的值互不相等时，则 ②当的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出的分布律。 连续型随机变量的函数的分布 已知的概率密度为，且有连续的导函数，求的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法： 先求的分布函数，再对求导数，可得的概率密度。 ②公式法： 如果严格单调，其反函数有连续的导数，则也是连续型随机变量，且其概率密度为 其中，（此时在上不为0）；或，（此时在之外全为0.） 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 联合分布函数 设、是两个随机变量，称有序数组为二维随机变量。 联合分布函数为，其中，为任意实数。 3.2 联合分布函数的性质 ，且，。 对每一个变量单调不减，即对任意固定的，当时，；对任意固定的，当时，。 关于右连续，关于也右连续。 对任意的，，