用MATLAB估算瑞士国土面积.doc

使用坐标解析精确计算瑞士国土面积 摘要： 根据已知有关瑞士国土坐标的一些数据离散数据，精确计算瑞士国土的面积，建立有关的数学函数模型，本文中应用坐标解析的相关方法和计算机MATLAB辅助软件编程技术，对面积的测算方法进行详细的阐述。经过计算高精度数据实验的分析，利用MATLAB软件技术计算面积的精度较高。 1.模型背景与分析 现今在建设工程和地形测绘及地籍的数据采集，会有大量与面积测量和计算的工作量，普通的计算方法是利用地形图在地形图上，利用传统工具比例尺量取后计算，但由于此方法绘图和自然因素等原因形成的误差大，精度较低，但是现今科技在发展，高精度仪器使用，超站仪的问世使我们很容易得到一系列的离散点的坐标，此外运用MATLAB这种功能强大的计算软件，可以简洁方便的测算出实地面积，大大降低计算者的工作量，而且MATLAB提供了非常强大的绘图功能，在土木工程方面运用得到了很好的口碑。 根据已知数据我们可以模拟出下列的条件： （1）根据已知数据，对瑞士地图测量数据计算近似面积。 （2）将高精密计算值与现值对比。 2.模型的假设 根据上述资料，提出下列假设建模思想： （1）构想瑞士国土的边界为光滑的连续曲线，用三次多项式。 （2）题目所给数据是有选择性的，真实地反映了瑞士国土的大概轮廓。 （3）国土边界曲线有连续二阶导数。 3. 建立模型 虚拟一个函数y=f(x)在区间内为非负连续值。根据线性规律在一直线x=a,x=b,y=0及多元曲线 y=y(x)所围成的曲边梯形，曲线y=f(x)为一条平行于X 轴的直线, 曲边梯形的曲边梯形就变成矩形, 高在底边[a,b]上各点都保持不变, 根据面积公式 规整面积 = 底×高 假设曲线y=f(x)不是一条平行于x轴的直线,则曲边梯形 在[a,b]上各点的高度f(x)是变化的,因此不能直接用矩形面积公式来计算梯形的面积.然而,由于f(x)在[a,b]上是连续的,在很小一段区间上,它的变化不会很大,因此,如果把区间[a,b]划分成若干个小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变高,那么每个小曲边梯形就可以近似地看成一个小矩形,用所有这些小矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值,当区间[a,b]被无限细分时,即每个小区间的长度都趋于零时,这些小矩形面积之和的极限就可定义为所要求的曲边梯形的面积.这样也给出了计算曲边梯形面积S的方法。 3.1区间的分割 分割用分点a=x0x1 ? xn-1 xn =b将区间[x0 , x1] ,[x1 , x2],[xn-1 , xn], 每个小区间[xi-1,xi]的长度为 ?xi =xi-xi-1(i=1,2,^,n) .过各分点作平行于ｙ轴的直线，把曲边梯形分成ｎ个小曲边梯形以区间 [xi-1,xi] 为底的小曲边梯形的面积记?si(i=1,2,^,n). 3.2剖析代换 近视值代换，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点εi (i=1,2,^,n),作以[xi-1,xi] 为底,以f(εi)为高的小矩形，用其面积f(εi)?xi近似代替同底小曲边梯形的面积即?si≈f(εi)?xi (i=1,2,^,n). 3.3汇总累计值 求所有局部面积和,就得到曲边梯形面积的近似值。 4模型精密计算 X 7 10.5 13 17.5 34 40.5 44.5 48 56 61 68.5 76.5 80.5 91 Y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 Y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 X 96 101 104 106.5 111.5 118 123.5 136.5 142 146 150 157 158 Y1 43 37 33 28 32 65 65 55 52 50 66 66 68 Y2 121 124 121 121 121 122 166 83 81 82 86 85 68 n Area= ∑ [y2(i+1)+y2(i)-y1(i+1)-y(i)]*[x(i+1)-x(i)] i x = Columns 1 through 8 7.0000 10.5000 13.0000 17.5000 34.0000 40.5000 44.5000 48.0000 Columns 9 through 16 56.0000 61.0000 68.5000 76.5000 80.5000