第二节多元函数的概念2013-4-026.doc

§8.2 多元函数的基本概念 教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，能正确求出所给函数的定义域，可以画出简单的函数定义域的简图. 掌握二元函数极限与连续的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质. 重点：理解并掌握多元函数的概念，能正确求出二元函数的定义域. 理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.会判断函数的连续性. 难点：画二元函数的定义域的图形. 二元函数的极限不存在问题的证明. 教学方法：启发式讲授 教学过程： 一、多维空间的点集 (区域) 1、维欧氏空间 . 2、中两点与的距离 . 3、邻域 点的的邻域 . 简记为. 点的的去心邻域 . 简记为. 4、特殊点 （1）内点：集合中的 点为的内点：. 的内点集. （2）为的边界点： , 且. 的边界为边界点. （3）为的聚点：,但不一定在内. 例如： 点集，和0为点集的边界，面上的每一个点都是聚点（极限点）. 5、特殊点集： 开集:且，，则为开集. ，均为开集. (2) 闭集:. ， 都是闭集. 既不是 开集也不是闭集. (3) 有界集:. ， 都是有界集. (4) 无界集: . ， 是无界集. (5) 连通集:中任意两 点均可用中折线连结起来. ， ， ， ， 都是连通集. 不具有连通性. 6、区域 (1) 开区域:连通开集,简称区域. 例如 为区域，它的边界 ， 边界上的点都是聚点，但边界点都不是内点. (2) 闭区域:,其中为开区域. 例如 为闭区域，边界为 ，边界上的点都是聚点且又都是内点. 例如：点集为闭区域，为的点，但为边界点， 且不是聚点. 是无界区域. 是无界闭区域. 是有界区域. 二、多元函数的概念 前几章所研究的函数都是一个自变量对应于一个因变量，称为一元函数.但实际问题中往往还要研究一个因变量对应于几个自变量的函数关系.例如，某种商品的市场需求量不仅与市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他替代品的价格等因素有关，即决定商品需求量的因素不是一个而是多个.要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念.是一个非空的二元有序数组的集合为某一对应法则，使之对于每一个有序数组 ，都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上，其中为自变量；是因变量 称为函数的定义域记作. 称为函数的值域, 记作 . 对于给定的点，对应的函数值或，以及一般的元函数.且非空，则映射为 定义在上的一个n元实值函数.记为. 2.说明： 1.二元或二元以上的函数均称为多元函数. 2.二元函数 定义域为：曲面 在 平面上的投影. 3.实维空间， 实2维空间. 提问： （1）说出函数的自变量，因变量，定义域，值域.，底面是边长为的正方形，则体积为的自变量，因变量，定义域，值域.（注意考虑实际意义）表示居民人均消费收入，表示国民收入总额，表示总人口数，则有，其中是消费率（国民收入总额中用于消费的部分所占的比例），是居民消费额率（消费总额中用于居民消费的部分所占的比率）（均为常系数），此函数关系反映了一个国家中居民人均消费收入依赖于国民收入总额和总人口.指出函数的自变量），因变量），定义域），值域. 3.二元函数的定义域 一般地，二元函数的定义域在几何上表示坐标平面上的一个平面区域.平面区域可以是整个平面，也可能是平面上由几条曲线所围成的部分或平面上的点集.所围曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点. 平面区域的分类：包含边界在内的区域称为闭区域；不包含边界的区域成为开区域；包含部分边界的区域称为半开区域；若区域延伸到无穷远点，称为无界区域；否则称为有界区域.有界区域中能包含于以原点为圆心的相当大的圆域内. 例如 提问中（2）设有长方体，高为 ，底面是边长为的正方形，则体积为 的函数的定义域为平面的不包含坐标轴的第一象限部分，是无界开区域.的定义域为，是平面上直线的上方部分的无界区域.的定义域是是平面上圆的内部和边界组成的有界闭区域. 而函数与函数的定义域均是是平面上圆的内部不包含边界的有界开区域.的定义域． 解： 所以的定义域为.（半开半闭区域） （2）的定义域为. （3）的定义域为 . (4)求的定义． 解： ， 所求函数定义域为 ． 5）求函数的定域. 提示：.  （6）的定义域为 说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域． 如定义域是，定义域是． 2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不再适用．但有界性定义仍然成立． 多元函数有界定义：设有元函数，其定义域为，集合，若存在正数，则称在上有界．称为在上的一个界． 提问：判断正误：