一轮复习同角三角函数和诱导公式.doc

3.1 任意角与弧度制 ¤复习目标： （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. ¤知识梳理： （1）角的概念的推广：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角. （2）象限角的概念：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.终边落在x轴和y轴上的角，不属于任何象限. （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角（包括角），构成集合 S＝｛β|β＝α＋k ?360°，k∈Z｝或 S＝｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝. （4）角度制：以周角的为 1 度的角，记作1°．用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （5）弧度制：长度等于圆半径长的弧所对的圆心角（即圆周的所对的圆心角，或周角的 ），叫做 1 弧度的角，它的单位符号是 rad．用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． （6）弧度与角度的互化： 360°＝2πrad， 1°＝rad， 1rad＝ ≈57.30°＝57°18′. （7）扇形弧长公式： l＝＝||r（其中n表示角度数；表示弧度数）. 扇形面积公式： .（其中l表示扇形的弧长，r表示圆的半径，n表示角度数，表示弧度数） ¤例题精讲： 【例1】（1）已知α为正角，β为负角，且α，β的终边互为反向延长线，则α－β为（ ）. A. 90° B. －180° C.k?360° D. k?360°＋180° （2）角α的终边经过 P（－5，0），则角α是（ ）. A. 第二象限角 B. 第三象限角 C. 终边落在x轴非正半轴上的角 D. 既是第二象限角又是第三象限角 D. 既是第二象限角又是第三象限角 （3） （05年全国Ⅲ）已知为第三象限的角，则所在的象限是 . （4）1200°用弧度制表示为 ，写成2kπ＋的形式为 （其中 0≤＜2π，k ∈Z） （5）－用角度制表示为 ，写成k·360＋形式为 .（其中 0°≤α＜360°， k∈Z） 【例2】角的终边与圆 (x－ 2)2 + y2＝1有公共点，求角的集合. 分析：作出角的终边与圆(x－2)2 + y2＝1相切的图形（如图），由图可知，与圆 (x－2) 2 + y2＝1 有公共点的角的终边，其终边 OB 所对应的角最小，终边OA所对应的角最大. 点评：以形促数，数形结合. 【例 3】已知一扇形的圆心角是 θ，所在圆的半径是R． （1）若 θ＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长为定值C（C＞0），当θ为多少弧度时，此扇形的面积最大？并求最大面积． 分析：（1）依题意首先化角度为弧度，再运用公式求得弧长， 然后运用扇形面积公式及S 弓＝S 扇－S△求得弓形面积.（2）或利用二次函数，或利用判别式法，或利用均值不等式求出面积的最大值． 点评：无论是（1）中求弓形的面积，还是（2）中求最大值，都须首先运用相应公式求出扇形面积，而这些又只有在弧度制下才能进行. 规律总结： （1）把握用旋转来定义角，就可以将正角、负角和零角，终边相同的角等联系在一起. （2）注意象限角、区间角、轴线角、终边相同的角之间的关系，以便准确计算角的取值范围. （3）计算扇形的弧长与周长，扇形的面积与弓形的面积，首先要考虑圆心角、半径与弧度制. 3.2任意角三角函数与诱导公式 ¤复习目标： （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切、余切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出± ，π± 的正弦、余弦、正切的诱导公式. ¤知识梳理： 在直角坐标系中，以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（unit circle）. 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫作α的正弦（sine），记作 sinα；x叫作α的余弦（cosine）,记作cosα； 叫作α的正切（tangent）,记作tanα. 设角的终边与单位圆交于点P， 当角的终边不在坐标轴上时， 过点P作x轴的垂线，垂足为 M，过点A(1,0)作单位圆的切线， 设它与终边或其反向延长线相交于点 T. 则把三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. （3）在角终边上任意一点的坐标 P(x,y ) ，先计算得到 r=|OP|= ，则sin= , cos= , tan = . （4）诱导公式列表归纳如下： 诱导公式——口诀