三角函数(讲).doc

01 任意角和弧度制及任意角的三角函数 〖知识梳理〗 1、角的分类 按旋转的方向分为正角、负角和零角； 按角的终边所在的位置分为象限角（四个象限）和轴线角。 ①与终边相同的角=+ 其中 ②第一象限的角：+ 其中，其他象限依此类推。 ③轴上的角：= 轴上的角：= + 其中 2、角的度量 ①角的度量有角度制和弧度制两种，角度制就是以度为度量单位，弧度制就是以弧度为度量单位。 ②当弧长和半径相等时，该弧长所对的圆心角的度数就是1弧度。 ③圆心角的弧度数：∣∣= 其中代表弧长, 代表圆的半径. ④弧度=180o, 1弧度=57.30o ，，S扇形==，其中代表弧长, 代表圆的半径，代表圆心角的角度数。 3、任意角的三角函数 点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin= cos= tan= ， 【注】上述比值不会随着点位置的变化而变化。 4、三角函数的符号 5、三角函数线[来源:学,科,网Z,X,X,K] 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT 为正切线 【注】(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负． (3)当角α的终边在x轴上时，点T与点A重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y轴上时，点T不存在，即正切线不存在． (4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方． 6、温馨提示 （1）不要掉了“” （2）引入弧度制后，角的表示可以用弧度制，也可以用角度制，但是不能混合使用，如[来源:Z_xx_k.Com] 〖分析考点〗 考点一：角的集合表示及象限角的判定 (1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成 [0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角. 【典型例题】 (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限． 【典型例题】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 考点三：三角函数线的应用 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 【典型例题】求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)． 。K] 考点四：弧度制的应用 1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． 2.记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积． 【典型例题】一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 02 同角三角函数基本关系式与诱导公式 〖知识梳理〗 1．同角三角函数的基本关系[来源:学科网] (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：＝tan α. 【注】（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。 （2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。 2．诱导公式[来源:学科网ZXXK] 公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα. 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cosα. 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα. 公式六：sin＝cosα，co