三角函数的诱导公式(修改稿5).doc

三角函数的诱导公式 北京市东城区教师研修中心 雷晓莉 一、内容及内容解析 （一）内容 三角函数的诱导公式 （二）内容解析 1. 公式的背景分析： 三角函数是刻画周期现象的数学模型，正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数. 三角函数的教学重点是三角函数的图象与性质，无论是同角三角函数之间的关系，还是诱导公式，以及三角函数的图象和性质，包括后面研究的“三角变换”，其实都在研究三角函数所具有的性质. 诱导公式是圆周运动（周期性）和圆几何性质（对称性）的代数表示，因此匀速圆周运动是研究三角函数性质的一个非常好的载体. 研究匀速旋转最本质、最简单的是研究单位圆上的点（，）随旋转角的变化而变化的规律，即研究和作为旋转角的函数.其实，是单位圆的自然动态解析描述. 诱导公式就是利用单位圆和三角函数的定义来描述. 诱导公式可以把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大. 诱导公式的教学价值主要体现在主要是三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示；其次诱导公式深刻体现出数形结合思想，体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备，在本章中起着承上启下的作用. 综上，利用圆的对称性探索诱导公式是本单元的重点. 2. 公式的系统性、结构性分析 公式一是圆周期性的反映，公式二、三、四、五、六是圆对称性的反映. 公式一、二、三、四左右两边是同名三角函数，公式五、六是把正弦转化为余弦，余弦转化为正弦. 公式二、三、四之间没有先后顺序，公式五是学生初中熟悉的公式，但初中阶段角局限在锐角范围内. 公式六可由公式四和公式五推导得到. 在六组诱导公式中，可以用某两组诱导公式推导出另外的诱导公式，这种关系实际上是角的终边对称关系的“合成”表现为公式之间的相互推导关系. 但公式之间的互推不是本节教学的重点. 3. 公式教学设计的分析 课本将这一部分内容的教学分为两节课，第一节课：探究出诱导公式二、三、四，然后分析公式的特征和功能，并进行简单的应用；第二节课：探究出诱导公式五、六，然后分析公式的特征和功能，并进行简单的应用．考虑到公式的系统性、结构性，也考虑到探究过程整体性，在教学中可以调整为这样两节课：第一节：集中探索公式并分析公式的特征、功能和联系；第二节：例题、习题处理，对公式进行简单应用． 二、目标和目标的解析 （一）教学目标 1．经历用单位圆，特别是利用圆的对称性探索得到五组诱导公式的过程，体会诱导公式是圆的几何性质的解析表述； 2．能说出六组诱导公式的特征、功能，了解它们之间的内在联系； 3．能根据具体问题选择恰当的诱导公式解决三角函数的求值、化简问题. （二）教学目标的解析： 1. 这是一个过程目标，也是第一节课的主要目标，主要让学生体会如何利用单位圆，特别是利用圆的对称性探究三角函数诱导公式. 研究公式的思路、方法是需要学生领悟、体会的. 2. 这是第一节课的知识目标，要求学生能够写出六组诱导公式，能说出这六组诱导公式的区别以及各自的作用，并结合推导的过程利用对称性记住六组诱导公式. 对于诱导公式之间的联系学生只是通过具体的例子了解由两组诱导公式可以推导出另外的诱导公式. 3. 这是第二节课的知识目标，要求学生能根据所给角的形式，选择合适的诱导公式进行化简；给一个任意角，学生能根据角的特征，把角表示成，，，的形式，并根据角表示的形式选择合适的公式把任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值，并形成解任意角三角函数值的基本策略. 三、教学问题诊断分析 由于学生刚学完弧度制和三角函数，对三角函数背景、本质的认识还不到位，学生很难理解到圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，很难提出研究问题的方法. 公式五的推导比前几组公式的推导对学生来说，困难一些，其原因有两个：第一，直角坐标系中关于直线对称的两个点之间的关系. 即点与点关于直线对称是学生不太熟悉的，要自觉地用于推导诱导公式则更困难；第二，角的终边与角的终边关于直线对称，那么的结论也是学生不易想到的. 由上述分析可知，发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系是教学的第一个难点；诱导公式五的推导是教学的第二个难点. 突破难点的办法是用研究方法统领各组诱导公式，突出诱导公式是圆的对称性的几何表示.可以有一个范例，在范例的基础上引导学生概括研究方法，并进一步提出问题、探索发现.包括诱导公式五，也可以用相同的思路进行，学生给出的方法也许没有教材中的简单，但是体现了研究的连续性. 四、教学过程的设计