不定方程的解法.doc

?基本介绍编辑本段 　　不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 　　古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2?发展历史编辑本段 　　　　不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 （变量的个数大于方程的个数）或不定方程式 （两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 　　研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3?常见类型编辑本段 　　⑴求不定方程的解； 　　⑵判定不定方程是否有解； 　　⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4?方程相关编辑本段 4.1?一次不定方程 　　二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解， 则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 　　S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 　　埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 　　一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 　　二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）.. 　　三再将二的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于（根号）√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 　　四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： 　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。⑴　　 　　其中?p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若NP（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。 　　五可以把（1）等价转换成为用同余式组表示： 　　N≡a1(modp1）， N≡a2(modp2），.....，N≡ak(modpk）。⑵　　 　　例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2），29≡2(mod3）， 29≡4(mod5）。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 　　由于⑵的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，⑵在p1p2.....pk范围内有唯一解。 　　例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 　　k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 　　k=3时， 　　-----------