matlab插值与拟合..doc

实验2 插 值 与 拟 合 概念的引入 1. 插值与拟合在现实生活中的应用 机械制造：汽车外观设计 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT） 2. 概念的定义 插值： 基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点 逼近： 当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法 光顾： 曲线的拐点不能太多，条件： ①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾 插值理论 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y0,y1,…,yn 。如果函数φ(x)在点xi上满足φ(xi)=yi (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn是插值节点。若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然 f(x)≈φ(x)，x∈[a,b] 1. 拉格朗日插值 构造n次多项式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+…+ynln (x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数lk(x)= 显然lk (x)满足lk (xi)= 此时 Pn(x)≈f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中∈(a,b)且依赖于x，=（x-x0）(x-x1)…(x-xn) n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) 其中基函数lk(x)= lk+1(x)= 2. 牛顿插值 构造n次多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+… +f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 称为牛顿插值多项式，其中 (二个节点，一阶差商) (三个节点，二阶差商) (n+1个节点，n阶差商) 注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn(x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,…,xn)ωn+1(x), 其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 3. 分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真 线性插值 已知n+1个不同节点x0,x1,…,xn ,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足 P(x)在[a,b]上连续 P(xk)=yk P(x)在[xi,xi+1]上是线性函数，P(x)= 两点带导数插值---避免尖点、一阶连续 区间[a,b]上两个互异节点xi,xi+1，已知实数y i,y i+1,m i,m i+1，为了构造次数不大于3的多项式满足条件 引入,使之满足 可以求出 此时=+，其中 三次样条插值------二阶可导 对于给定n+1个不同节点x0,x1,…,xn及函数值y0,y1,…,yn，其中a=x0x1…xn=b。构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足： S(x)在[a,b]上二阶导数连续 S(xk)=yk (k=0,1,…,n) 每个子区间[xk,xk+1]上S(x)是三次多项式(k=0,1,…,n) 5. 例题 已知函数y=f(x)的观测值 X 1 2 3 4 Y 0 -5 -6 3 求三次插值多项式φ(x)及φ(2.5). 解： (1)拉格朗日插值 P3(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+y3l3(x) =(-5) + (-6) +3 =x3-4x2+3 φ(x)≈P3(x)= x3-4x2+3 φ(2.5)=2.53-4*2.52+3=-6.375 (2)牛顿插值 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 0 2 –5 -5 3 –6 -1 2 4 3 9 5 1 N3(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,x3)(x-x0)(x-x1)(x-x2) =0+(-5)(x-1)+2*(x-1)(x-2)+1*(x-1)(x-2)(x-3) =x3-4x2+3 Matlab在插值中的应用 1. Lagrange插值 １)方法回顾 对给定的n个节点x1,x2,…,xn及对应的函数值y1,y2