主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍.doc

第十二章 主成分分析 主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。Stata对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。 主成分的模型表达式为： 其中，a称为得分，b称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。 Stata中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO值对主成分分析的恰当性进行分析。负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。非对角线元素则为负的偏相关系数。如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。 Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO介于0于1之间。KMO越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser（1974），一般的判断标准如下：0.00-0.49,不能接受（unacceptable）;0.50-0.59,非常差（miserable）；0.60-0.69，勉强接受（mediocre）；0.70-0.79,可以接受（middling）；0.80-0.89，比较好（meritorious）；0.90-1.00,非常好（marvelous）。 SMC即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。 成分载荷、KMO、SMC等指标都可以通过extat命令进行分析。 多元方差分析是方差分析在多元中的扩展，即模型含有多个响应变量。本章介绍多元（协）方差分析以及霍特林（Hotelling)均值向量T检验。 12.1 主成分估计 Stata可以通过变量进行主成分分析，也可以直接通过相关系数矩阵或协方差矩阵进行。 （1）sysuse auto,clear pca trunk weight length headroom pca trunk weight length headroom, comp(2) covariance （2）webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) 12.2 Estat estat给出了几个非常有用的工具，包括KMO、SMC等指标。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) estat anti estat kmo estat loadings estat residuals estat smc estat summarize 12.3 预测 Stata可以通过predict预测变量得分、拟合值和残差等。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) predict score fit residual q （备注：q代表残差的平方和） 12.4 碎石图 碎石图是判断保留多少个主成分的重要方法。命令为screeplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) screeplot 12.5 得分图、载荷图 得分图即不同主成分得分的散点图。命令为scoreplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) scoreplot 载荷图即不同主成分载荷的散点图。命令为loadingplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) loadingplot 12.6 旋转 对载荷进行旋转的命令格式为rotate。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) rotate 例：对中国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标主成分分析，原始数据如下表： 省份 GDP (亿元） 居民消费水平(元） 固定资产投资(亿元) 职工平均工资（元） 货物