n阶行列式的计算方法..doc

n 阶行列式的计算方法 1．利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。 例 1 计算二阶行列式 D = 1 3 。 2 4 解： D = 1 3 = 1× 4 ? 3 × 2 = ?2 2 4 例 2 计算三阶行列式 D = 1 2 0 4 ? 3 8 。 0 ?1 2 解： D = 1 2 0 4 ? 3 8 = 1× (?3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (?1) ? 0 × (?3) × 0 ? 2 × 4 × 2 ?1× 8 × (?1) 0 ?1 2 = ?14 2．利用 n 阶行列式的定义 a11 a12 ? a1 n n阶行列式 D = a21 a22 ? a2 n =∑(?1) τ a1 p1 a2 p2 ? anpn ? ? ? ( p1 p2 ? pn ) an1 an2 ?ann 其中 τ = τ( p1 p2 ? pn ) ， 求和式中共有 n! 项。 显然有 a11 a12 ? a1 n 上三角形行列式 D = a22 ?a2 n = a11 a22 ? ann ? ? ann a11 下三角形行列式 D = a21 a22 ? = a11 a22 ? ann ? ? an1 an2 ?ann  λ1 对角阵 D = λ2 = λ1 λ2 ? λn ? λn 另外 D = λ2 λ1 n( n?1) = (?1) 2 λ1 λ2 ? λn ? λn 例 3 计算行列式 0 ? 0 1 0 0 ? 2 0 0 Dn = ? ? ? ? n?1 ? 0 0 0 0 ? 0 0 n Dn中不为零的项用一般形式表示为 a1 n?1 a2 n? 2 ? an?11 ann = n!. 该项列标排列的逆序数 t（ n－1 n－2…1 n）等于 ( n ? 1)( n? 2) ，故 2 Dn = ( ?1) ( n?1)( n?2) n!. 2 3．利用行列式的性质计算 性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = DT 。 注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。 性质 2 交换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质 3 用数 k乘行列式的某一行(列), 等于用数 k乘此行列式, 即 a11 a12 ?a1 n a11 a12 ?a1 n ?