QR分解及其应用..docx

《矩阵分析与应用》专题报告——QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日1 引言 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。 参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。 本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用。2 QR分解2.1QR分解的性质定理2.1.1（QR分解）若，且，则存在列正交矩阵和上三角矩阵使得。当时，是正交矩阵。如果是非奇异的矩阵，则的所有对角线元素均为正，并且在这种情况下和二者是唯一的。若是复矩阵，则和取复值。注意到,因此可以得出结论：是的下三角因子。由于这个原因，在关于估计的文献中，矩阵常称为平方根滤波器（算子）。 下面的引理称为矩阵分解引理，它在矩阵的QR分解的应用中是一个很有结果。 引理2.2.1 若和是任意两个矩阵，则当且仅当存在一个酉矩阵，使得 证明 充分性证明：若，并且是酉矩阵，则。 必要性证明：令和的奇异值分解分别为式中，和均为酉矩阵；和都是酉矩阵；而矩阵和分别包含了矩阵和的非负奇异值。由于若,则有和。定义矩阵易知 这就证明了引理的必要条件。2.2 QR分解算法2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解矩阵的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法实现。Gram-Schmidt正交化方法原本是一种由n个向量构造互相正交且范数为1的向量的方法。将向量标准正交化的结果取作，即然后，从中除去与平行的向量，再进行标准正交化，并将结果取作，则有进而，又从除去与和平行的两个分量，再进行标准正交化，并使用该结果作，即有如此继续，则对于有容易验证，是标准正交基，即满足其中，为Kronecker函数。如果令矩阵的列向量，则以为列向量的矩阵与之间有下列关系：又由于组成标准正交基，所以将与重写在同一矩阵，应用以上Gram-Schmidt正交化的方法叫做经典Gram-Schmidt正交化法。2.2.2 Householder QR分解Householder变换可以实现任意矩阵的QR分解，其原理是使用变维向量的Householder变换，使得该向量除第一个元素外，其他元素皆为0。根据Householder变换的相关知识，欲使一个维向量的第1个元素后面的所有元素变为0，则维的Householder向量应取式中 假定矩阵的列分块形式为首先令，并取，则按照式和式，可以计算得到。此时，变换后，矩阵的第1列的第一个元素等于，而该列的其他元素全部为0。 第二步针对矩阵的第2列，令和又可按照式和式求出（m-1）维向量。此时，取，又可得到变换后，矩阵的第1列与的第1列相同，而第2列的第一个元素等于，第二个元素等于，而该列的其他元素全部为0。 类似地，又可针对矩阵的第3列设计Householder变换矩阵，使得的第一、二个元素保持不变，其他元素组成的m-2维向量变换为除第一个元素外的全部元素变为0。 假定矩阵经过k-1次Householder变换后，已变成，即并且其前k-1列具有以下变换结果:因此，第k次Householder变换的目的就是保持前k-1列不变，实现列第k列的下述变换：这相当于对矩阵进行Householder变换时取n次Householder变换后，即可实现QR分解。2.2.3 采用Givens旋转的QR分解 Givens旋转也可以用来计算QR分解。这里以矩阵为例，说明Givens QR分解的思想：其中，表示用Givens旋转进行变化你的元素。 从上述说明中易得出结论：如果令代表约化过程中的第j次Givens旋转，则是上三角矩阵，其中，而t是总的旋转次数。3 QR分解在参数估计中的应用3．1 基于分解的参数估计问题现在以系统辨识为例，说明如何利用矩阵的分解进行系统参数的递推估计。令系统在时刻的输入为，系统输出的观测值由卷积方程给出，其中，表示离散