《2012年高考总复习一轮名师一号-数学》第47讲.ppt

共 57 页 第九章(B)　直线、平面、简单几何体 2012高考调研 考纲要求 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． 1．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式． 3．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念． 注：其他同第九章(A)． 考情分析 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，在高考中占有重要位置．在建立了空间直角坐标系后，用坐标表示向量，进行向量的有关运算．运用向量工具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，是立体几何考查的新方向，因此必将在高考中重点体现和重点考查． 从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量)和存在性(开放性)问题的试题，难度多为中档或高档． 立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，占试卷总分的15%左右． 第四十七讲　 (第四十八讲(文))空间向量及其运算 回归课本 1.空间向量及其加减与数乘运算 (1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． (2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广． (3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律． 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 2．共线向量与共面向量 (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量． (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的． (3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 答案：D 答案：B 答案：A 答案：0 答案：③④ 类型一　　空间向量的基本定理的应用 解题准备：1.对空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数k，使a＝kb.共线向量定理可以分解为以下两个命题：①a∥b(b≠0)?存在唯一实数λ，使a＝λb.②若存在唯一实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a∥b. 2．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合． [答案]　④ 探究1：设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点．求证：M、N、P、Q四点共面． 类型二　　利用空间向量证明平行与垂直 解题准备：利用空间向量证明空间中的平行关系时： (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． (2)证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． (3)证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量． (4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． (5)证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； ②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． (6)证明面面垂直的方法： ①转化为线线垂直、线面垂直处理； ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例2】　(理)如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别是AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD. [点评]　由空间向量基本定理，在确定了空间的一个基底后，任意向量都能用它们来表达，再由共面向量定理解决问题，这是本例的基本思路，本题的这个方法是证明线面平行的最基本的方法． (文)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M分别为棱BB1、CD、AA1的中点．求证： (1)C1M∥平面ADE；(2)平面ADE⊥平面A1D1F. 4．利用空间向量法求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 5．求二面角的大小，如图所示，在二面角α－l－β中，n1和n2分别为平面α和β的法向量．记二面角α－l－β的大小为θ，由cos〈n1，n2〉＝m得，若二面角为锐角，则θ＝arccos|m|；若二面角为钝角，则θ＝π－arccos|m|. 【典例3】　如图，在正四面体ABCD中．(1)求AD与平面BCD所成的角；(2)求二面角A—BC—D的大小．