SARS传播模型..doc

SARS传播模型 摘 要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS疫情数据进行了分析处理，把北京地区 SARS疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。由于医务人员人群是SARS病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：，恢复期模型的解为：。从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。 关键词：SARS，三次样条插值，高次多项式拟合 0. 引 言 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。我们从整个抗击SARS的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。 1. 问题分析 由于SARS主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS病的高发人群，其主要是被住院的病人传染。而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。同时临床统计数据表明SARS病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。虽然SARS病在2002年底到2003年初就在我国各地市广泛传播，但是疫情数据并没有精确的得到统计，从4月20日后，国家卫生部才在专门的网站上发布各地的SARS疫情数据，本文中我们只对北京地区4月20日-6月8日的数据进行分析。通过对本文附录1中数据的处理，我们发现北京市4月20日-6月8日的疫情可分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）（见附录2）。并且通过拟合附件1中所给的数据，我们得到了两个时期内医务人员及普通人员的日感染率k，日死亡率d和日治愈率z，建立了SARS传染病的一个微分方程模型。 2. 模型假设 本文主要考察的是北京地区的疫情变化, 在疾病传播期内该地区的人口总数N变，即为常量。 政府发布的北京地区的疫情数据真实可信。 SARS传播途径都视为与病源的直接接触, 每个病人与健康者接触时，都使健康者感染变成病人,且病人发病后马上被隔离，即住院治疗 。 将人群分为三类：健康者（易受感染者）、病人（已被感染者）、退出者（死亡者和治愈者）,在t时刻三者在总人数中的比例分别为s(t)、i(t)、r(t)，且s(t)+i(t)+r(t)=1。其中病人又分为医务人员病人和非医务人员即普通病人。 假设不考虑SARS传播期内的北京地区的人口出生率和自然死亡率。对于由SARS引起的死亡人数全部归为“退出者”, 治愈者不会再次被感染，具有免疫力，归为“退出者”。 假设每日新增的普通病人与当日健康人的人数成正比，比例系数为k1,称为普通病人的日感染率。每日新增的医务人员病人与当日住院的病人人数成正比，比例系数为k2,称为医务人员的日感染率。每日新增的病人死亡人数与当日已确诊的病人数成正比，比例系数为d,称为病人的日死亡率。每日新增治愈的病人人数与当日已确诊的病人数成正比，比例系数为z,称为病人的日治愈率。由于k1，k2,d,z具有很强的实际意义，其具体的数值我们可以通过对给定的数据拟合得到。 3. 符号说明 ， , ， ， i0,s0分别为病人数，健康人数占总人口数的比例初始值。 4. 模型建立 从模型假设中的6)可知普通病人的日感染率k1, 医务人员的日感染率k2, 病人的日死亡率d, 病人的日治愈率z, 我们可以通过对附录1中的实际数据处理来得到。为了使得到的模型比较简单，我们考虑k1,k2,d,z都是常数，这时k1、k2、d、z分别表示普通病人的日感染率、医务人员的日感染率、病人的日死亡率、病人的日治愈率的平均值，对感染期与恢复期我们可以建立下面相同的模型，这两个时期的差别主要在于普通病人的日感染率k1是否等于0(见附录2)。 由上面的分析及假设，我们得到了下面的SARS病传播的微分方程模型： (1) 5. 模型求解 5．1 对感染期的模型求解 我们考虑4月20日至5