《23.6.2相似对角化.ppt

例2 6.2.4 实对称矩阵的正交相似对角化 任意实对称阵A不仅可对角化, 而且能找到一个正交阵P, 使得P-1AP = PTAP = ? 为对角阵. 即A可正交相似对角化. 在第八章的实二次型理论中, 也需要将实对称矩阵正交相似对角化.下面介绍将实对称矩阵正交相似对角化的方法. 例4 设 预 习习 题 六 * A不同特征值所对应的特征向量线性无关. 若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量. 属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关. 复习上讲主要内容 实对称阵不同特征值的实特征向量必正交. 实对称阵的ri重特征值?i一定有ri个线性无关的实特征向量. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本节主要内容 相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法 6.2 相似矩阵 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使 T-1AT =B 则称A与B相似, 记作A~B. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵. 6.2.1 相似矩阵的概念 1 定义 例如 T-1ET =E, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即相似关系满足: (1) 自反性:A~A; (2) 对称性:若A~B, 则B~A; (3) 传递性:若A~B,B~C,则A~C. 矩阵的相似关系是 上的一种等价关系, 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 相似矩阵的特征多项式 定理6.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即 证 因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则 是A 的n个特征值. 推论 若n阶方阵A与对角阵 相似, ?结论成立. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3 相似矩阵有5同 (4) 迹同: (1) 特征多项式同: (2) 特征值同: (3) 行列式同: (5) 秩同: 如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有 但逆命题不成立, 即特征值同但不 相似. 阵 (2)的反例如下: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T . (2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)~f (B), 4 相似矩阵的性质 (5) 若A~B,则对?常数t有 (4) 若A~B,则AT ~ BT . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 与 相似, 解 由 x = 1 tr(A) =x- 2= tr(?) =y y = -1