《CHP41.4特征函数.ppt

第四节 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征函数 二、 特征函数的性质 一 、特征函数的定义 三、 逆转公式与唯一性定理 四、 分布函数的再生性 五、 多元特征函数 一 、特征函数的定义 分布函数及其密度无疑是描述随机变量概率规律的最有力工具，尤其是它具有明确的概率含义，故运用分布函数可方便地解决许多与随机变量有关的概率问题。 但是，在今后的某些问题中，分布函数又表现出某些不足。例如： （1）分布函数本身的分析性质不太好，它只是一个单边连续的有界非降函数。 （2）独立随机变量和的分布函数等于各分布函数的卷积，这在计算上带来不少麻烦。 数字特征也只反映了概率分布的某些侧面。下面介绍的特征函数，即能完全决定分布函数，又具有良好的分析性质。 为了定义特征函数，我们需要拓广一下随机变量的概念，引进复随机变量。 定义 如果 与 都是概率空间 上的实值随机变量，则称 为复随机变量。 对复随机变量的研究本质上是对二维随机变量的研究 如果二维随机变量 与 相互独立，则称复随机变量 与 相互独立。 定义复随机变量 的数学期望为 对于复随机变量，可平行的定义或得到一系列结果。例如: 若 是相互独立的，则 又如，若 是一个博雷尔可测函数，而 则 这里常用欧拉公式 以后，随时引用这类结果而不再加以说明。 定义 若随机变量 的分布函数为 ，则称 为 的特征函数。 特征函数是一个实变量的复值函数，由于 ，所以它对一切实数 都有意义。 显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布函数的特征函数。 对于离散型随机变量，若其分布列为： 则其特征函数为： 对于连续型随机变量，若其分布密度为 ，则其特征函数为： 这时，特征函数是密度函数 的傅立叶变换。 一般情况下的特征函数可以看作是这种傅立叶变换的推广。傅立叶变换是数学中一种非常有用的工具，它在许多数学分支中都起了重大作用。 一些重要分布的特征函数 例1 退化分布 的特征函数为 例2 二项分布 的特征函数为 例3 泊松分布 的特征函数为 例4 分布 的特征函数为 二 、特征函数的性质 性质1 特征函数 有如下性质： 证明 性质2 特征函数在 上一致连续。 证明 因为 而 因此 注意上式右边已与 无关； 可选足够大的 使右边的第一项任意小，然后选充分小的 可使第二个积分也任意小，从而证明了定理的结论。 性质3 对于任意的正整数 及任意的实数 及复数 ，成立 证明 这个性质称为非负定性，是特征函数的最本质的性质之一。 性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们各自特征函数之积。 证明 设 与 是两个相互独立的随机变量，而 由 与 的独立性不难推得复随机变量 与 也是独立的，因此 性质4可以推广到 个独立随机变量之和的场合。 由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各个特征函数相乘来求得，而独立和的分布要通过卷积这种复杂的运算才能得到，相比之下，用特征函数来处理独立和的问题就有力的多。 应当着重指出，正是由于性质4，才使特征函数在概率论中占有重要地位。 独立和问题在概率论的古典问题中占有“中心”地位，而这些问题的解决大大有赖于特征函数的引进。 性质5 设随机变量 的 阶矩存在，则它的特征函数可微分 次，且当 时： 证明 由于 的 阶矩存在，故 ，因而可作下列积分号下的微分 取 ，即得结论成立。 利用性质5，我们可以方便得求随机变量的各阶矩。