《分形几何概述(课件) 阮火军.ppt

分形几何概述 浙江大学数学系 阮火军 内容 分形几何的发展历史 分形几何的研究对象和研究方法 分形几何的应用 分形几何产生的背景 经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等． 问题： 　　　对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？ 分形几何的历史 萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出. 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，《分形对象：形，机遇和维数》. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的. 分形几何的历史(续) 发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》. 英国的海岸线有多长? 测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过?，设这样测得的海岸线长度为L(?).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长?越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。 英国的海岸线有多长(续)? Richardson的经验数据 L(?)与??成正比，其中?的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的?。在Richardson看来， ?没有什么特别意义。 Mandelbrot的贡献 把?的意义挖掘出来，将1+ ?=D解释为“分形维数”。 其它例子 迭代（动力系统）的问题 Julia集的定义 Julia集的图象 Mandelbrot集 Mandelbrot集 微积分中的一个问题 如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：如Weierstrass函数？ 分形几何的研究对象（一）—自相似集 1 Cantor集 2 Sierpinski垫片 3 Koch曲线 Cantor集C Cantor集C中的点的表示 Cantor集C的基本性质 1. “长度”为零. 2. 没有孤立点. 3. 闭集. 4. 自相似. Sierpinsk垫片 Sierpinsk垫片的生成过程—第0步、第1步 Sierpinsk垫片的生成过程—第2步、第3步 Sierpinski垫片的基本性质 与Cantor集类似。 面积等于0. Koch曲线 Koch曲线的生成过程—第0步、第1步 Koch曲线的生成过程—第2步、第3步 Koch曲线与雪花曲线—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线 Koch曲线的一些基本性质 Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质. 长度等于无穷. 自相似集合的定义 相似压缩映射的定义： 设f是从Rn到Rn的映射，如果存在常数1c0,使得对于Rn中的任意两点x,y,有 |f(x)-f(y)|=c|x-y|, 我们称f是一个Rn上的相似映射，相似比为c. 关于自相似集合的定理及定义： 设f1, f2, …,fm 是Rn上的一组相似压缩映射，则 存在Rn的一个非空子集E，使得 E=∪fi(E). 我们称集合E是一个自相似集合. 分形几何的研究对象（二） 自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。 迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。 分形函数（如：Weierstrass函数）。 随机分形（如：随机Koch曲线）。 随机Koch曲线——对海岸线的模拟 分形集合的基本特征 我们很难给出分形的定义，但我们认为一个分形集合E应该有如下的特征： E具有精细的结构，即有任意小比例的细节。 E是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述 E通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。 分形集合的基本特征（续） 一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。 在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生。 分形几何