《大学文科数学20101.6.ppt

2.6 定积分 关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼 兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教 师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在 数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版 的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年 前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我 已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似 的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越 的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉 述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措 词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自 独立地创建微积分的。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。而莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其严密的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好数学符号是成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示积分， 表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 例1. 计算下列定积分 解： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 例2. 计算定积分 解：原式 , 求 对区间的可加性, 有 例3. 已知 解：因为 是分段函数，所以由定积分 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 故由分段可加性, 有 所求积分值为图中左、右两个 三角形的面积之和, 故 例4. 计算 解法一: 因绝对值函数是分段函数, 解法二: 由定积分的几何意义, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 §2.6.4 定积分的计算 不定积分计算 微积分基本定理 定积分计算 1. 定积分的换元法 2. 定积分的分部积分法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 则 1. 定积分换元法 不定积分换元法 定理2.6.3 设 满足: (2) 在区间 上有连续导函数 ； (1) (3) 当t在区间 上由 变到 时， 单调地从a变到b Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.6 定积分 证: 设 是 的一个原函数, 则 另一方面, 是 的一个原函数, 故 定积分换元法: Evaluation