《数控技术(检测1).ppt

4.3 Bezier曲线 1962年法国雷诺汽车公司的P．E． Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，完 成了一种曲线和曲面的设计系统，并于1972年在该公 司应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起 来，使得设计师在计算机上运用起来就象使用常规作 图工具设计一样得心应手。 4.3.1 Bezier曲线的定义及其性质 1 定义 如图所示的几条Bezier 曲线，是由一组折线集，或 称之为Bezier特征多边形来 定义的。曲线的起点和终点 与该多边形的起点、终点重 合，且多边形的第一条边和 最后一条边表示了曲线在 起点和终点处的切矢量方向。 曲线的形状趋于特征多边形 的形状。当给定空间n十1个 点的位置矢量p，则Bezier曲 线各点坐标的插值公式是： 2）权性 由二项式定理，得 3）对称性 2. Bezier曲线的性质 根据Bezier曲线调和函数的性质，可推出 1）端点性质 根据调和函数的正性，得， 说明Bezier曲线的 起点、终点与其相 应的特征多边形的 起点、终点重合。 2）对称性 若将原Bezier曲线的全部顶点Pi位置不变，只 要把次序颠倒过来，新的特征多边形的顶点， P*i＝Pn-i,(i＝0,1,2,…n);则新的Bezier曲线形 状不变，只是走向相反。 3）凸包性 这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对 某一个t值，C (t)是特征多边形各项点Pi的加 权平均，权因子是Bi，n(t)。在几何图形上， 意味着Bezier曲线C (t)是Pi各点的凸线性 组合，且曲线上的各点均落在Bezier曲线 特征多边形构成的凸包之内。 4.4 B样条曲线 以Bernstein调和函数构造的Bezier曲线曲线有许多优越性但 有两点不足： （1）特征多边形顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，并且当n大时．特征多边形对曲线的控制将会减弱； （2） Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是调和函数Bi，n(t)在t∈[0,1]整个区间内均不零。 1972年，Gordon，Riesenfeld等人拓扩了Bezier曲线，用B 样条函数代替Bernstein函数，从而改进了Bezier特征多边形与 Bernstein多项式次数有关，且是整体逼近的弱点： 均匀B样条函数 节点沿参数轴是均匀等距分布，即ti+1－ti＝常数,则表示均匀B样 条函数。均匀非周期B样条节点的取值有如下规律：(L=n-k+1) 当节点沿参数轴的分布是不等距的，即ti+1－ti≠常数时，则表示非均匀B样条函数。 4.4.1 B样条曲线的性质 1、局部性 即：Ni，k(u)在区间(ti，ti+k)中为正，在其他地方Ni，k(u)=0 这就使得k阶B样条曲线在修改时只 被相邻的K个顶点所控制，而与其 他顶点无关。当移动一个顶点时， 只对其中的一段曲线有影响，并 不对整条曲线产生影响。如图所 示是一条均匀B样曲线。 4.5 非均匀有理B样条(NURBS)曲线 非均匀B样条函数节点参数沿参数轴的分布是不等距的，因而 不同节点矢量形成的B样条函数各不相同，需要单独计算，其计 算量比B样条大得多。 尽管如此，近年来NURBS (Non Uniform Rational B Sample) 有了较快的发展和较广泛的应用，主要原因是： (1)对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等) 和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还 是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存 取和应用； (2)可通过控制点和权因子来灵活地改变形状； (3)对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较 有力； (4)非有理B样条、有理及非有理Bezier曲线、曲面是NURBS 的特例表示。 NURBS中主要问题比一般的曲线、曲面处理时间长。 4.6 曲线曲面生成 曲线曲面生成技术是曲面造型技 术中的基础关键技术，它包括曲线 曲面的反算及曲线曲面的各种生成 方法。 4.6.1 曲线生成 曲线生成有两种实现方法，一种是由设计人员输入 曲线控制顶点来设计曲线，此时曲线生成即曲线正 向计算过程； 另一种则是由设计人员输入曲线上的型值点来设计 曲线，此时曲线生成就是所谓的曲线反算过程。其中 后者是曲线设计的主要方法。 曲线反算过程一般包括以下几个主要步骤： 1）确定插值曲线的节点矢量； 2) 确定曲线两端的边界条件； 3) 反算插值曲线的控制顶点。 4.6.2 曲面生成 曲面生成是曲面造型中的核心技 术。曲面生成方法通常可分为两大