《数的概念的扩展1.ppt

复数的引入  数的概念的扩展 探究：实数集如何进一步扩展呢？ 问题1: 解方程 x2 + 1＝ 0 探究：实数集如何进一步扩展呢？ 问题2 : 解方程 x2=- 2 四、复数集合的分类 六、作业 2、A={x|x=m+n , m、n?Z}， 1）、若a =1＋2 、b= 2+3 ， 求证：a?b?A，a?b?A； 2）、试举出两个数x1，x2?A，（x2?0）， 但 ?A； 3）、给出集合B，A ?B?R，使得对于任意 a、b?B（b?0），都有 ?B * * 2011年4月15日 N 一、数的概念的产生和扩展过程 原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：1、2、3、4、…… ，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集. 此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数……甚至连零都还没有出现，人们的一切活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行加法和乘法运算。 一、数的概念的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断发展，有些活动就无法用数来表示了： 如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几斗粮食？ 这一问题在当时是无法用数学解决的， 因为 5－10 ? N 数集（自然数集）面临着 第一次扩展 一、数的概念的产生和扩展过程 自然数集如何扩展呢？ 引进“新数”：0和正负整数，组成新数集 整数集 Z = { 0，± 1， ± 2， …… } 确定数集扩展的原则： 第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。 第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质， 同时又增加一些新的运算性质。 引入新概念:零和正负整数,数集N扩展了! 于是： 5－10＝－5 ? Z N 一、数的概念的产生和扩展过程 Z 在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示了，但类似 “三担粮食均分给七人，每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法解决。 因为 3÷7 ? Z 同学思考:此时怎么办？ 一、数的概念的产生和扩展过程 数集（整数集）第二次扩展 表示新数的符号：如 有理数Q={0， 1， 2， ， -------} 根据数集扩展的原则，引入新数“分数”及 引入新概念:分数 数集Z又扩展了! N 一、数的概念的产生和扩展过程 Z Q 一、数的概念的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在公元前五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家——毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成。 一、数的概念的产生和扩展过程 当时毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数”（指整数）， 数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。 一、数的概念的产生和扩展过程 毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献： 证明了勾股定理 一、数的概念的产生和扩展过程 不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为1正方形的对角线长m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数． 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．引起了第一次数学危机。 为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。 一、数的产生和扩展过程概念的 希伯斯发现：若： x2 = 2 则： x ? Q 为解方程 x2 = 2 引入 “2的平方根概念”，并用符号 “ ” 表示 于是，x2=2 ? x = 同时把它（即 ）称为无理数 从而引发： 数集（有理数集）第三次扩展 一、数的概念的产生和扩展过程 数集（有理数集）第三次扩展 引进“新数”：无理数 及其符号表示方法 如 ：