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课后习题-整理版
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长:
(a) 质量为10-10kg,运动速度为0.01m·s-1的尘埃;
(b) 动能为0.1eV的中子;
(c) 动能为300eV的自由电子。
解:根据关系式:
(1)
【1.7】子弹(质量0.01kg,速度1000m·s-1),尘埃(质量10-9kg,速度10m·s-1)、作布郎运动的花粉(质量10-13kg,速度1m·s-1)、原子中电子(速度1000 m·s-1)等,其速度的不确定度均为原速度的10%,判断在确定这些质点位置时,不确定度关系是否有实际意义?
解:按测不准关系,诸粒子的坐标的不确定度分别为:
子弹:
尘埃:
花粉:
电子:
【1.11】是算符的本征函数,求其本征值。
解:应用量子力学基本假设Ⅱ(算符)和Ⅲ(本征函数,本征值和本征方程)得:
因此,本征值为。
【1.12】下列函数中,哪几个是算符的本征函数?若是,求出本征值。
解:,是的本征函数,本征值为1。
是的本征函数,本征值为1。
【1.13】和对算符是否为本征函数?若是,求出本征值。
解:,
所以,是算符的本征函数,本征值为。
而
所以不是算符的本征函数。
【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
证:在长度为的一维势箱中运动的粒子的波函数为:
=1,2,3,……
令n和n’表示不同的量子数,积分:
和皆为正整数,因而和皆为正整数,所以积分:
根据定义,和互相正交。
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
式中是势箱的长度,是粒子的坐标,求粒子的能量,以及坐标、动量的平均值。
解:(1)将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量:
即:
(2)由于无本征值,只能求粒子坐标的平均值:
(3)由于无本征值。按下式计算px的平均值:
【1.19-】一个粒子处在的三维势箱中,试求能级最低的前5个能量值[以h2/(8ma2)为单位],计算每个能级的简并度。
解:质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动,其能级公式为:
E122=E212=E221=9
E113=E131=E311=11
E222=12
【1.21】已知封闭的圆环中粒子的能级为:
式中为量子数,是圆环的半径,若将此能级公式近似地用于苯分子中离域键,取R=140pm,试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。
解:由量子数n可知,n=0为非简并态,|n|≥1都为二重简并态,6个电子填入n=0,1,等3个轨道,如图1.20所示:
图1.20苯分子能级和电子排布
实验表明,苯的紫外光谱中出现β,和共3个吸收带,它们的吸收位置分别为184.0nm,208.0nm和263.0nm,前两者为强吸收,后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态,这3个吸收带皆源于电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。
【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm,试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示,并求出常数R及整数n1、n2的数值。
解:将各波长换算成波数:
由于这些谱线相邻,可令,……。列出下列4式:
(1)÷(2)得:
用尝试法得m=2(任意两式计算,结果皆同)。将m=2带入上列4式中任意一式,得:
因而,氢原子可见光谱(Balmer线系)各谱线的波数可归纳为下式:
式中,。
【2.2】按Bohr模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径(分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字)和线速度。
解:根据Bohr提出的氢原子结构模型,当电子稳定地绕核做圆周运动时,其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等,即:
n=1,2,3,……
式中,和分别是电子的质量,绕核运动的半径,半径为时的线速度,电子的电荷和真空电容率。
同时,根据量子化条件,电子轨道运动的角动量为:
将两式联立,推得:
;
当原子处于基态即n=1时,电子绕核运动的半径为:
若用原子的折合质量代替电子的质量,则:
基态时电子绕核运动的线速度为:
【2.3】对于氢原子:
(a)分别计算从第
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