定义法,韦达定理法在解抛物线与直线相交问题中的应用.doc

个性化教学辅导教案 学科：数学 任课教师： 授课时间：2013 年 7 月 27 日(星期 六 ) 08 : 00 ~ 10 : 00 姓名 年级 性别 教学课题 教学 目标 重点 难点 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距： ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：。 ⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： 4抛物线的图像和性质： ①焦点坐标是：， ②准线方程是：。 ③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：， ④焦点弦长公式：过焦点弦长 ⑤抛物线上的动点可设为P或或P 5一般情况归纳：. ①.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()： 标准方程 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 （0，0） 离心率 ②.抛物线的焦半径、焦点弦 ，的焦半径;的焦半径； ，过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ，AB为抛物线的焦点弦，则 ，，= ③ 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）. 解抛物线（圆锥曲线）问题的常用方法： 、定义法 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明 韦达定理法： 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 设而不求法： 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法。 数形结合法： 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 1.定义法在解题中的应用 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，） 连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去） （2）（） 过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q() 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 则 由①得(x1-x2)2[1+(