数值分析(最小二乘拟合).doc

课题八 曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y与时间t 的拟合曲线。 二、要求 t(分) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y（×10-4） 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 1 、用最小二乘法进行曲线拟合； 2 、近似解析表达式为=a1t+a2t2+a3t3 3 、打印出拟合函数，并打印出与的误差 4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。 三、目的和意义 1 、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、实验结果： 1.用最小二乘法做出的曲线拟合为 三次多项式 a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。 = (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3 三次多项式的误差平方和=0.2583。 图形为： 图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。 源代码为： x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]; y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% plot(x,y,*) %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, r) %用红色线画出x,b1图像% （说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot） 2.另外选取几个近似表达式： 主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。 （说明6多项式用绿线表示，9次多项式用蓝线表示，12次多项式用黄线表示） 图形为： 讨论： 从上面的曲线图形我们可以看出9次多项式的拟合效果最好，所有点的都在9次多项式的曲线上。 可以看出3次多项式、6次多项式都拟合的比较好。 可以看出12次多项式跳跃比较厉害，拟合效果比较差，我们可以的出结论：不是次数越高，拟合效果就越好，拟合函数的次数与拟合精度没有直接的线性关系。需要选择合适的拟合函数，可以得到最佳效果。 源代码： x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]; y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,6) %六次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a4= polyfit(x,y,12) %十二次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) b4= polyval(a4,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %六次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %九次多项式误差平方和% r4= sum((y-b4).^2) %十二次多项式误差平方和% plot(x,y,*) %用*画出x, y图像% hold on plot(x,b1, r) %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, g) %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, b:o) %用蓝色o线画出x,b3图像% hold on plot(x,b4, y) %用黄线画出想x,b4图像% 运行结果： a1 = 0.0000 -0.0052 0.2634 0.0178 Warning: Polynomial is badly conditioned.