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用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)
实验题目: 用多项式模型进行数据拟合实验
1 实验目的
本实验使用多项式模型对数据进行拟合,目的在于:
(1)掌握数据拟合的基本原理,学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况;
(2)掌握最小二乘法的基本原理及计算方法;
(3)熟悉使用matlab进行算法的实现。
2 实验步骤
2.1 算法原理
所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线,最不失真地去表现测量数据。反过来说,对测量
的实验数据,要对其进行公式化处理,用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同,有许多的逼近方法,工程中常用最小平方逼近(最小二乘法理论)来实现曲线的拟合。
最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有:1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等,根据应用情况,选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。
给定一组测量数据,其中,共m+1个数据点,取多项式P(x),使得,则称函数P(x)为拟合函数或最小二乘解,此时,令
,使得,其中为待求的未知数,n为多项式的最高次幂,由此该问题化为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件:,其中
得到:,其中,这是一个关于的线性方程组,用矩阵表示如下所示:
因此,只要给出数据,数据点个数m,所要拟合的参数n,就可求出未知数据阵
2.2 实验步骤
根据已知数据(ch3 huaxuefy.m),绘制出数据的散点图,如图1所示:
注:x从1开始取值,值与值间隔为1。y取文件ch3 huaxuefy.m中的数据。
图1 已知数据散点图
计算矩阵,该矩阵为
图2 n=6时拟合曲线
图3 n=8时拟合曲线
图4 n=10时拟合曲线
图5 n=11时拟合曲线
图6 n=12时拟合曲线
图7 n=13时拟合曲线
3 实验结果分析
通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理,获得n次多项式及其系数。分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14绘制拟合曲线,观察曲线图可知,对于最高次数不同的多项式,拟合结果是不一样的,即对于数据的逼近程度是不相同的。
plot(x,y,*)
xlabel x轴
ylabel y轴
title 散点图
hold on
%计算矩阵A
m=229;n=10;
A=zeros(n+1);
for j=1:n+1
for i=1:n+1
for k=1:m+1
A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)
end
end
end;
%计算矩阵B
B=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ];
for j=1:n+1
for i=1:m+1
B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)
end
end
%写出正规方程,求出
B=B;
a=inv(A)*B;
%绘制出拟合曲线图
x=[1.0:0.0001:230.0];
z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3+a(5)*x.^4+a(6)*x.^5+a(7)*x.^6+a(8)*x.^7+a(9)*x.^8+a(10)*x.^9+a(11)*x.^10;
plot(x,z)
legend(离散点
,y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3+a(5)*x.^4+a(6)*x.^5+a(7)*x.^6+a(8)*x.^7+a(9)*x.^8+a(10)*x.^9+a(11)*x.^10)
title(拟合图)
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