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线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间
§1 线性空间及其同构
一 线性空间的定义
设V是一个非空集合,K是一个数域,在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素和,在V中都有唯一的一个元素与他们对应,成为与的和,记为。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K中任一数k与V中任一元素,在V中都有唯一的一个元素与他们对应,称为k与的数量乘积,记为,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则:
1);交换律
2);结合律
3)在V中有一个元素0,对于V中任一元素都有(具有这个性质的元素0称为V的零元素); 存在零元
4)对于V中每一个元素,都有V中的元素,使得(称为的负元素).存在负元
数量乘法满足下面两条规则:
5); 存在1元
6). 数的结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则:
7); 数的分配律
8). 元的分配律
在以上规则中,表示数域中的任意数;等表示集合V中任意元素。
元素属于数域K的矩阵,按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法,构成数域K上的一个线性空间,记为。
全体实函数(连续实函数),按函数的加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上的线性空间。
维向量空间是线性空间。
向量空间的线性映射的集合是线性空间。
二.简单性质
1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3.,,。
4.若,则或者。
三.同构映射
定义:设是数域上的线性空间. 是一个线性映射.如果是一一映射,则称是线性空间的同构映射,简称同构。线性空间与称为同构的线性空间。
定理 数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
§2 线性子空间的和与直和
子空间的和:设是线性空间的子空间,则集合
也是一个线性子空间,称为的和,记为.
两个线性子空间的和是包含这两个线性子空间的最小子空间.
满足交换律、结合律
设与是V的两个向量组.则
线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
定理:(维数公式)如果是线性空间的两个子空间,那么
+ =+
由此可知,和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数
推论:如果维线性空间中两个子空间的维数之和大于,那么必含有非零的公共向量。
直和:设是线性空间的子空间,如果中的每个向量都能被唯一地表示成 .则称为直和,记为。
设是线性空间的子空间,则下列结论互相等价:
设是线性空间的一个子空间,那么一定存在的一个线性子空间,使得
满足上述条件的线性子空间称为的补子空间.
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和
§3 欧式空间
定义 设是实数域上的有限维线性空间,在上定义了一个二元实函数,称为内积,记作,满足以下四条公理:
1)对称性 ;
2)关于标量乘法线性性质 ;
3) 关于向量加法的线性性质;
4)正定性,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1 在线性空间中,对于向量
,
定义内积
(1)
则内积(1)适合定义中的条件,这样就成为一个欧几里得空间.
时,(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2 在里, 对于向量
,
定义内积
则内积(1)适合定义中的条件,这样就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3 在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
. (2)
对于内积(2),构成一个欧几里得空间.
同样地,线性空间对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例4 令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
定义 非负实数称为向量的长度,记为.
显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合熟知的性质:
(3)
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由(3)式,向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量,通常称为把单位化.
(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量有
而且等号成
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