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南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案
一、(20分)设矩阵,
(1)求的特征多项式和的全部特征值;
(2)求的行列式因子、不变因子和初等因子;
(3)求的最小多项式,并计算;
(4)写出的Jordan标准型
二、(20分)设是实数域上的全体实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
(1)求的维数,并写出其一组基;
(2)设是全体实对称矩阵的集合,
证明:是的子空间,并写出的维数和一组基;
(3)在中定义内积,其中,求出的一组标准正交基;
(4)给出上的线性变换: ,
写出线性变换在(1)中所取基下的矩阵,并求的核和值域。
三、(20分)
(1)设,求,,,;
(2)设,令,
证明:是上的矩阵范数并说明具有相容性;
(3)证明:。
四、(20分)已知矩阵,向量,
(1)求矩阵的分解;
(2)计算;
(3)用广义逆判断方程组是否相容?若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。五、(20分)
(1)设矩阵,,其中为实数,
问当满足什么条件时,成立?
(2)设阶Hermite矩阵,其中,
证明:,。
(3)已知Hermite矩阵,(),证明:正定
一、(20分)
解:(1),
的特征多项式为,的特征值 6分
(2)的行列式因子:1,1,;的不变因子:1,1,;的初等因子:; 7分
(3)因为,,的最小多项式;
4分
(4)的Jordan标准形 3分
二、(20分)
解:(1)的维数为4,一组基,,,; 5分
(2),,则 ,;
;。对加法和数乘封闭,所以是的子空间。
的维数为3,一组基,,; 5分
(3),;
, ;
, 。
所以、、为W的一组标准正交基。 5分
(4)在(1)中所取基下的矩阵为;的核:;
的值域:。 5分
三、(20分)
解:(1),,,; 8分
(2)若,则至少有一个,
若,则,,
,
,
所以是上的矩阵范数。
所以是上的相容矩阵范数。8分
(3),
不妨设,则
记,,则,,
,
综上可知: 4分
四、(20分)
(1)矩阵的分解: 6分
(2) 8分
(3) 该方程组不相容。
极小最小二乘解 6分
五、(20分)
(1),
,,时成立
即时成立。 10分
(2),为的前k阶顺序主子式,。
存在可逆矩阵,使得,
,。 6分
(3)设是矩阵的任一特征值,相应的特征向量为,令,
则,由,有,
从而
又因为 ,所以,
由的任意性,可知的所有特征值均为正数,所以正定。 4分
南 京 航 空 航 天 大 学
研究生考试参考答案及评分标准
共 4 页 第10 页
二00 七 ~二00 八 学年 第 一 学期 课程名称: 矩阵论
试卷类型 A 卷 课程编号: A000003
参考答案及评分标准制定人: 2008 年1 月 12 日
南 京 航 空 航 天 大 学
研究生考试试卷
共 5 页 第 1 页
二00 七 ~二00 八 学年 第 一 学期《 矩 阵 论 》课程
考试日期: 2008年1月16日 试卷类型A 课程编号: A000003 学院 学号 姓名 成绩
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