三角测量应用题.doc

专题2：三角应用题 探究1：以三角函数的图象为载体的三角应用题 1、如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处. （1） （2） （3）求证：不论为何值，是定值. 【解设点P离地面的距离为y，则可令 y＝Asin(ωt＋φ)＋b. 由题设可知A＝50，b＝60.又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60. 再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－. 因此，y＝60－50cost (t≥0). （2）要使点P距离地面超过85 m，则有y＝60－50cost＞85，即cost＜－. 于是由三角函数推得＜t＜，即1＜t＜2. 所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m时间有1分钟. ＝＝π)． （1）当( ＝＝＝75． 即点P距地面的高度为75m． ………………………… 4分 （2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin( ，从而MQ＝60－50sin( ，NQ＝300－50sin( ． 又PQ＝50－50cos( ， 所以tan(NPQ＝＝ ，tan(MPQ＝＝ ． ………………………… 6分 从而tan(MPN＝tan((NPQ－(MPQ) ＝＝ ＝ ． ………………………… 9分 令g(( )＝ ，( ∈(0，π)， 则g((()＝ ，( ∈(0，π)． 由g((()＝0，得sin( ＋cos( －1＝0，解得( ＝ ． ………………………… 11分 当( ∈(0，)时，g((( )＞0，g(( )为增函数；当( ∈(，()时，g((( )＜0，g(( )为减函数， 所以，当( ＝ 时，g(( )有极大值，也为最大值． 因为0＜(MPQ＜(NPQ＜，所以0＜(MPN＜， 从而当g(( )＝tan(MPN取得最大值时，(MPN取得最大值． 即当( ＝ 时，(MPN取得最大值． ………………………… 14分 （方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系， 则圆O的方程为 x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)． 设点P的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0． 从而tan(NPQ＝＝ ，tan(MPQ＝＝ ． ………………………… 6分 从而tan(MPN＝tan((NPQ－(MPQ) ＝＝ ＝ ． 由题意知，x0＝50sin( ，y0＝50－50cos( ， 所以tan(MPN＝＝ ． ………………………… 9分 探究2：以解三角形为载体的三角应用题 3、某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米， （1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值； （2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值． 17． 解：(1) ，由余弦定理得： ∴ ………………………………2分 ∵ ∴ ， S四边形ABCD =（平方千米）……5分 ∴ 由正弦定理得：（千米） （千米） ………………………………8分 (2) S四边形APCD = ，又…………9分 设AP = x，CP = y，则…………………10分 由余弦定理得： ∴ ，当且仅当x = y时取“＝”………………………………12分 ∴S四边形APCD =（平方千米） ∴ 作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为平方千米 ……14分 4、如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k0）. （1）设∠ACD=，试将S表示为的函数； （2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？ 17．（1）△BCD中， ∴，∴…………4分 ∴ ，……6分（其中范围1分） （2）…………8分 ………………10分 令，则， ∴在区间上