三角形全等汇总.docx

三角形全等倍长中线法如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。 求证：AC=BF。　证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。　∵ D为BC中点　∴ BD=CD　在△BFD和△CHD中　　∴ △BFD≌△CHD(SAS)　∴ ∠H=∠BFH　∵ AE=FE　∴ ∠HAC=∠AFE　又∵ ∠AFE=∠BFH　∴ ∠H=∠HAC　∴ CH=CA　∴ BF=AC2.如图，中，，是中线．求证：．延长到，使，连结．在和中 ∴∴，在中，∵，∴∴，∴．3. 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．延长到点，使，连结．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，∴∴为的角平分线．4. 已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE(等边、中点、线段倍数)(一)延长CE到K，使CE=EK，连接BK ∴△AEC≌△BEK AC=BK=BD∠A=∠3∴AB=AC ∴∠5=∠ACB∴∠KBC=∠3+∠5=∠A+∠ACB=∠4BC=BC ∴△CKB≌△CDB ∴CK=CD∴ 2CE=CD5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为多少？解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.6.如图，在?ABC中，AB=5cm,AC=3cm,AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.7.如图，CE,CB分别是?ABC,?ADC的中线，且∠ACB=∠ABC,求证：CD=2CE.8.如图，在?ABC中，D是BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13.求证：AB⊥AD.9.如图，点D,E三等分?ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE.10.如图，D是线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形?ACE与?BCF,连接DE,DF,EF,求证：?DEF为等腰直角三角形.11.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：． 解：延长到，使，连结∵，，∴，∴．又∵，∴∴∴，∴．12. 已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：． 解：延长到，使，连结、．易证≌，∴，又∵，的平分线分别交于、交于，∴，利用证明≌，∴，在中，，∴．13. 如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证． 解：延长至，使，连接、、．因为，，，则．从而，．而，，故，因此，即，则，即．因为，故，则．为Rt斜边上的中线，故．由此可得．14. 如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．解：如图所示，延长到，使．容易证明，从而，而，故． 注意到，，故，而公用，故，因此．15.如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证： 思路：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。证明：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。16.如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CFEF 证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在△BDE和△CDM中， BD=CD （中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD （辅助线作法） ∴△BDE≌△CDM （SAS） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4 （已知） ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF =90°在△EDF和△MDF中 ED= MD （辅助线作 法） ∠EDF=∠FDM （已证） DF=DF （公共边） ∴△EDF≌△MDF （SAS） ∴EF=MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CFEF17.已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形， 求证EF=2AD ABCDEF25-图证明：延长AD,使AD=DM连接BM∵AD是角BC边上的中线,即BD=CDAD=DM∠BDM=∠ADC∴△ACD≌△BDM∴∠DAC=∠BMA∵△ABE和△ACF是等腰直角三角形∴∠BAE=∠CAF=90°AE=AB,AC=AF∵∠EAF+∠BAC=360°-(∠BAE+∠CAF)=180°∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠BMF∠ABM+∠BAD+∠BMA=∠ABM+∠BAC=180°∴∠