《3.5角动量的本征值和本征态.pptVIP

十一、密度算符与量子统计力学 对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有： 该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为： 在ρ本征态为基矢时 1) 熵 由于 ，σ是半正定的（σ≥0）。 对完全随机系综 对纯系综，σ =0 可见σ可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故σ是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是σ的最大值。 在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与σ的关系为，S=kσ，k为Boltzmann常数。 S=kσ可看作是量子统计力学中熵的定义。 2) 热平衡系综的密度矩阵 对具有确定[H]的系综,热平衡时σ取极大:δσ=0.因?ρ/ ? t=0,ρ与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 粒子的平均内能：[H]=Tr(ρH)=U 由 用Lagranger乘子法可得 其解为， 利用归一化条件有 对应于能量本征态Ek的几率分布。 上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定 若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β-0（即T?∞）的正则系综分布相同 3) 配分函数 ρkk的分母为 是统计力学中的配分函数，可写为 ρ在能量本征态基中可写为 据此可得体系的所有性质， 对A=H，有 与统计力学的对应知β=1/kT. §3.5 角动量的本征值和本征态 本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。 一、对易关系和本征态 角动量算符的基本对易关系为 这里Ji是绕i轴无穷小转动的生成元。 定义角动量的平方算符 由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。 由于不同Ji不对易，只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基，通常选J2与Jz的共同本征态。若用|a,b标记该本征态，则有J2 |a,b =a |a,b ，Jz |a,b =b |a,b 。 二、阶梯算符 定义: J±=Jx±Jy,称为阶梯算符，或角动量的升（降）算符，是以前讲过的自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 J±是非厄米的。 容易证明： 由于 J±|a,b也是Jz的本征态，对应于本征值 。既J±作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征值增加 。 又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值. 即： J±|a,b = c±|a,b ， c±由归一化条件确定。 三、J2与Jz的本征值 由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故 a-b2≥0 ?对给定a, b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax=0, J-|a,bmin=0. 由 得 ,类似有 ? bmin=-bmax 由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin有限次数应能达到|a,bmax，故 记Jz的最大本征值为 ,则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为 。Jz的本征值一般为 ，其中-j≤m≤j,共有2j+1个可能值-j,-j+1…，j-1,j。 改记|a,b为|j,m，则 上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。 四、角动量算符的矩阵元 取|j,m为归一化的，则 因 而 故 取c±为实数，有： 类似地 J±的矩阵元为 而由Jx=(J++J-)/2, Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元 五、转动算符的表示 对 绕转Φ角的转动R，转动算符的矩阵元为 (D在不同j之间的矩阵元为零) 这些矩阵元有时称Wigner函数。 由 形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1) 维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即 D(R)= , 六、转动算符表示的一般性质 1.由任一确定j所表征的转动矩阵形成一个群 a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），c)乘积 也是成员，其中乘积R1R2表