《3.6 算符与力学量的关系.pptVIP

对于任意的微观态 ，知道了力学量的全部可能取值 及概率 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给 出 该方法常被称为概率平均法 考虑到厄米算符本征态的完备性 及正交归一性可得 该方法又被称为状态平均法，只要已知算符 ，不必通过 的本征态及本征值，可直接在任意态 下求出平均值。 任意态在连续谱 情况下的展开 在此情况下，求和应变为积分 例题一 设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中， 状态用波函数 描述，求粒子能量的可能值及相应概率。 解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为 求解该问题，首先必须弄清任意态 究竟包含了能量 本征态中的那几个。 解法1 利用 求 （能量分布函数） 利用三角函数公式及正交性，得 仅有 所以能量的可能值及概率为 概率 概率 解法2 直接将 展开 所以能量的可能值及概率为 概率 概率 能量的平均值为 求解此类问题的技巧：对于任意态 ，有时利用 直接积分既麻烦又易错；若能将 直接 改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。 例如 对于 针对动量 应展开为 针对一维无限深势阱，应展开为 例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成， 列表对应求解： 解法二 由 得 由 正交归一性得 例题2 粒子状态处于一维谐振子的基态 试求： （1）平均值 ；（2）平均值 ； （3）动量的概率分布。 解：（1） （2） （3） 动量本征函数 则 为 的函数！ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * §3.6算符与力学量关系 我们已讲过，当体系处算符Ｆ的本征态φ时,算符表示的力学量有确定的值,这个值就是算符在φ中 的本征值。 如果体系不处在算符Ｆ的本征态φ时,这时候 算符Ｆ和它所表示的力学量之间的关系如何? Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 力学量算符本征函数组成完备系 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数 ψ(x)可以按这组函数展开: 则称这组函数φn(x) 是完备的。 为求系数 (3.6.1） 以 乘上式两边,并积分 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 所以 (3.6.2） 则上式