《3.8角动量的加法.pptVIP

§3.8 角动量的加法 一、LS的叠加例子 对粒子的描述应同时考虑空间与内禀自由度。如自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋本征矢构成的二维空间的直积 位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易。 波函数 空间部分基矢可用|nlm构成，对应L2和Lz的本征值分别为 。自旋部分|±对应的S2和Sz本征值分别为 转动算符： 二、SS的叠加例子 两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自旋算符为S=S1+S2. 由 可导出 由此知相关算符的本征值： 两电子的任意自旋态可用 1)S1z和S2z 或 2)S2和Sz的本征矢展开： 1) |++, |+-, |-+, |--; 2) 在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。 三、角动量叠加的形式理论 考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足各自的角动量对易关系 作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为 定义总角动量为 ，简记为 有限转角的形式： 上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。易证： 因此，以前所述关于 的特征与行为均成立。 四、基函数 1）无耦合表象 相互对易,取其共同本征态|j1j2;m1m2为基 2）耦合表象 相互对易, 取其共同本征态|j1j2;jm为基(|jm) 由于J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2不是J2的本征矢，|jm不是J1z(J2z)的本征矢。 |j1j2;m1m2和|jm各是一组完备基,包含了最大相互对易算符组的集合。 3）表象变换 由于对给定的j1,j2, m1和m2的完整组合是完备的， 有： 展开系数 称为Clebsch-Gordan系数 五、CG系数的基本特征 1) 由 可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零 2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 的CG系数才可能不为零。 3) CG系数据约定取实数，故 j1j2;m1m2|j1j2;jm= j1j2;jm|j1j2;m1m2 4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成幺正矩阵,即正交矩阵： 类似地， 六、CG系数的递推关系 由于 可知 用j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系: 上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数 由递推关系联系的CG系数 七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加 j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l0)或 j=1/2(l=0). 讨论j=l+1/2情形。 由递推关系: 即 结合 得 耦合态的展开： 选相位约定 八、自旋球谐函数 定义： 该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数 由L?S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L?S的本征函数，本征值为： 九、角动量叠加与转动矩阵 考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R) ，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示: 采用群论的记号，即 十、 CG系数与转动矩阵 由于 得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系： 十一、球谐函数乘积的展开 利用CG系数所联系的转动矩阵及 知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加： ? * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides fo