《36偏序关系.pptVIP

第三章 关系 3.6偏序关系 小于等于关系“??”的推广，最基本、最常用的一类序关系 按某方面比较事物并按“程度”确定事物之间的大小次序 例： 实数集上的大小关系 人的年龄大小关系 字符串的大小关系 自然数集上的整除关系 3.6.1偏序关系 定义1 偏序关系 自反、反对称、传递的关系 偏序集：（S，R） 偏序关系R常表示为≤：a≤b，a≥b，ab，ab （偏序关系的逆≥也是偏序关系） 例 1 证明“大于或等于”关系(Z，≥）是整数集合上的偏序。 证明： 因为对所有整数a有a≥a，≥是自反的。如果a≥b且b≥a，那么a=b，因此≥是反对称的。最后，因为a≥b和b≥c推出a≥c，所以≥是传递的。从而≥是整数集合上的偏序且(Z, ≥)是偏序集。 例 2 证明包含关系?是集合S的幂集上的偏序。 证明： 因为只要A是S的子集就有A?A，?是自反的。因为A?B和B?A推出A=B，所以它是反对称的。最后，因为A?B和B?C推出A?C，? 是传递的。因此，?是P(S)上的偏序，且(P(S), ?)是偏序集。 例 ：（人的集合，长幼关系） （Z，） （P(S)，?） 偏序集中可能有没有关系的元素：（Z+，∣） 定义2 可比性 定义3 全序，全序集（链） 例 偏序集（Z，≤）是全序集，因为只要a和b是整数就有a≤b或b≤a。 例 偏序集（Z+ ，|）不是全序集，因为它包含着不可比的元素，例如5 和7。 定义4 良序集：全序集，任意非空子集有最小元 例 ：（Z，≤），（Z+，≤） 3.6.2字典序 A1×A2×…×An上的字典序： n个偏序集（A1，≤），（A2，≤），…，（An，≤） 在A1×A2×…×An上定义偏序关系： (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)??i，1≤i≤n-1，使a1=b1,a2=b2,…,ai=bi,且ai+1bi+1 串上的字典序： 偏序集（S，≤），a1a2…am、b1b2…bn是S上的串，t=min(m,n) a1a2…amb1b2…bn?(a1,a2,…,at)(b1,b2,…,bt)或(a1,a2,…,at)=(b1,b2,…,bt),且mn 3.6.3 哈斯图 哈斯图：点表示元素，大的在上方，小的在下面 若xy，且没有z，使xzy，则在x和y之间画连线 省略线上的箭头，隐含地从上指向下 例 11 画出表示{1，2，3，4，6，8，12}上的偏序{（a,b）|a整除b}的哈斯图。 解 由这个偏序的有向图开始，如图3-6(a)所示。移走所有的环，如图3-6(b)所示。然后删除所有由传递性导出的边。这些边是(1,4),(1,6),(1,8),(1,12),(2,8),(2,12)和（3，12）。排列所有的边使得方向向上，并且删除所有的箭头得到哈斯图。结果的哈斯图显示在图3-6(c). （接下页） （接上页） 图3-6 构造（{1，2，3，4，6，8，12}，|）上的哈斯图 例 12 画出幂集P(S)上的偏序{(A,B)|A?B}的哈斯图，其中S={a,b,c}. 解 关于这个偏序的哈斯图是由相关的有向图得到的，先删除所有的环和所有由传递性产生的边，即(Ф, {a,b}), (Ф, {a,c}), (Ф,{b,c})，(Ф,{a,b,c}),({a},{a,b,c}),({b},{a,b,c})和({c},{a,b,c})。最后，使所有的边方向向上，并删除箭头。结果的哈斯图如图3-7所示。 图3-7 (P({a,b,c}),?) 的哈斯图 · 注意与普通关系的图形表 示的差异：没有画出所有 的二元组 省略了线上的箭头 3.6.4 极大和极小元 偏序集（S，≤），a∈S a是极大元：没有比a更大的元素 不?b∈S，使ab ?b∈S，a≤b?a=b a是极小元：没有比a更小的元素 不?b∈S，使ba ?b∈S，b≤a?a=b 例 13 偏序集（｛2，4，5，10，12，20，25.｝,|）的哪些元素是极大元素，哪些是极小元素？ 解 图3-8关于这个偏序集的哈斯图显示了极大元素是12, 20和25，极小元素是2和5.。通过这个例子可以看出，一个偏序集可以有多于一个的极大元素和多于一个的极小元素。