余姚世南中学余姚世南中学九年级数学竞赛试卷.docVIP

2008.12.2余姚世南中学培优生选拔 数学竞赛试卷 满分１２０分，考试时间１２０分钟 一、选择题（每题５分，共３０分） 1．将正偶数按下表排成5列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 2 4 6 8 第二行 1 6 1 4 1 2 1 0 第三行 1 8 2 O 22 24 第四行 …… …… 2 8 2 6 …… 则2 00８应该排在 ( )A．第2 5 1行，第列 B．第2 5 0行，第列 C．第5 0 0行，第2列 D．第5 0 1行，第列．A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 ３．A．下午１点 B．下午２点 C．下午３点 D．下午４点 ４．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米的矩形。则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( A．20支 B.2l支 C．2 4支 D．2 5支第４题图 ５．．．．．．已知ax2＋bx＋c抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）若abc＝4，且a≥b≥c，|a|＋|b|＋|c|的最小值。．．．．．．．．． , 若李华在点A朝着影子的方向以v1匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________ １１．(用含n的代数式表示)．．中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系为____________． １３．设以边形A1A2A3…An中，有m个点B1，B2，B3，…，Bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网(n=6，m=4时的情形如图)，称每个小三角形为一个“网眼，求网中共有个“网眼” (用含n，m的代数式表示)． ．．．对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点(x0，x0)为此函数的不动点．现有函数y=， (1)若y有不动(4，4)，(一4，-4)，求a，b． (2)若函数y的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件． (3)已知a=4时，函数仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y 的图像与函数y 的图像有什么关系?与函数y 的图像又有什么关系?)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。 (2)：在(1)题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。 参考答案：选择题1-6：ADDBBB 填空题7：0≤x≤３0° 8：y=-x2/R+2x+4R 9：７.５ 10： 11：(n2+2n+2)：n 12： 或 或，为小于的任意锐角或．是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。 ⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△的相似比为k，则k＞1。 ∵　△的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc ∴　在△ABC中，与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c ∵　b＜c＜kc ∴　在△中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb ∴　 ∴　由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△的相似比k。 下面考虑相似比k所受到的限制： ∵　△ABC的三边长分别为，且a＞0，k＞1 ∴　 解之得　　1＜k＜　（注：≈1.168） 因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长。然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边长。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。 16：(1)由题意，得(2)令=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b) x2+(b—3)x-a=O． x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，