现代机械设计方法第2版教学课件作者谢里阳主编第3篇第11章优化设计课件.ppt

优化设计 第11章 优化设计的数学基础 11.0 向量的若干概念 11.0.1 向量的表示方法 （１）坐标表示式表示方法 11.0 向量的若干概念 11.0.1 向量的表示方法 （１）坐标表示式表示方法 11.0.1 向量的表示方法 （２）“单位向量——模”表示法 1) 向量的模 11.0.1 向量的表示方法 （２）“单位向量——模”表示法 2)向量的方向余弦与单位向量 P的方向： cosβ1 =x 1 /op = x 1 /‖P‖ cosβ2 =x2 /op = x2 /‖P‖ 向量p的方向余弦： cosβi =xi /‖p‖ 11.0.1 向量的表示方法 （3）表示的向量方法 p = ‖P‖ /‖P‖? p = ‖P‖ ? p/‖P‖ 11.0.2 向量运算 （１）向量的和 ---对应分量相加 1）设以原点起点的向量： X (1) ＝[x1 (1) ，x2 (1) ]T ， X (2) ＝[x1 (2) ，x2 (2) ]T 11.0.2 向量运算 （１）向量的和 ---对应分量相加 2）设以原点起点的向量和自由向量： X (1) ＝[x1 (1) ，x2 (1) ]T ， X (2) ＝ α S S ＝[cosβ1 ，cosβ2]T ＝[s1 ，s2 ]T X (3) ＝X (1) ＋X (2) ＝[x1 (1) + α s1 ，x2 (1) + α s2]T 11.0.2 向量运算 （2）向量的差--对应分量相减 （3）向量的点积 设向量 X=[x1 ，…，xn ]T Y=[y1 ，…，yn ]T θ为 两向量的夹角。 11.1 目标函数的等值线（面） 11.1 目标函数的等值线（面） 11.1 目标函数的等值线（面） 2）等值线（面）的几个性质 (1) 数值不相同的等值线（面）不相交； (2) 若目标函数连续，则等值线（面）不中断； （3）常数C1 、C2 、C3 、…的间隔相同时，等值线（面）愈密，目标函数值的变化愈大 11.1 目标函数的等值线（面） 2）等值线（面）的几个性质 （４）对于二元二次函数： 当a0，c0和ac-b2 0时，f(X)为椭圆抛物面， 等值线为一族同心椭圆，如图所示。 11.1 目标函数的等值线（面） 2）等值线（面）的几个性质 （５）数学上可以证明，对于一般二元函数f(X)，在极值点附近，等值线近似为椭圆族，如图所示圆，如图所示。 3） 等值线的应用 无约束最优解： X＝[2，0]T 约束最优解： g2(X)=0与某一等值线的切点X* =[0.58，1.34]T 11.2 目标函数的梯度与最速下降方向 （１）目标函数的梯度▽f(X) 目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的列向量 （２）目标函数的方向导数 函数f(X)在已知点X (k) 上沿方向S 的导数为: 方向导数的向量表达式 根据矩阵相乘原理 和向量点积的定义 （３）目标函数的最速下降方向 分析方向导数的向量表达式： 梯度的几点性质 －▽f(X (k))是函数在X (k) 点的最速下降方向 局部性质 任一点X (k) 处的梯度一定垂直于过X (k) 点的等值线的切线 11.3 多元函数的泰勒展开式 设多元函数f(X)在X (k) 点至少有二阶连续的偏导数，在X (k) 的足够小的邻域内将f(X)展成泰勒近似式，并且只取前二次项，可得： 泰勒近似式的向量矩阵表达式 称H(X (k))为海赛矩阵 11.4 二次型函数 （１）二次型函数的概念与向量矩阵表示式 多元二次函数是指变量最高幂次为２次方的多项式形式的函数，称其为二次型函数。二次型函数的通式为： 11.4 二次型函数 （将式(2.3.4-1)改写成向量矩阵表示式，略去推导过程可得： f(X)=1/2XTAX + BX + c (2.3.4-2) 式(2.3.4-2)中： （２）正定二次函数及特性 对于二次型函数f(X)=1/2X TAX + BX + C ，若矩阵A 为正定矩阵，则称f(X)为正定二次函数。由于A矩阵同时是一个对称矩阵，因此有时亦称f(X)为对称正定二次函数。 正定二次函数的有关概念，是许多优化方法的理论基础，不少的优化方法首先是以正定二次函数为研究对象，以此来构造优化方法的。 11.5.1 多元函数极值的充要条件 （1） 一元函数极值的充要条件 极值点存在的必要条件: f ’(x*)=0 （2） 多元函数极值的充要条件 １）必要条件 点X*的一阶偏导数等于零: ▽f(X*)=0