2012年全国高中数学联赛一试及加试试题.doc

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂 足分别为，则的值是 ． 设的内角的对边分别为，且满足， 则的值是 . 【答案】4 [来源:21世纪教育网] ３．设，则的最大值是 . 【答案】[21世纪教育网] 【解析】不妨设则 因为 所以 当且仅当时上式等号同时成立.故 4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是 . 【答案】121世纪教育网 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立.故的最大值为1. 5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 ． 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 ７．满足的所有正整数的和是 ． 【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得 所以 故满足的正整数的所有值分别为它们的和为. ８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）已知函数 （１）若对任意，都有，求的取值范围； （２）若，且存在，使得，求的取值范围． １０．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有 （１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． １１．（本小题满分２０分） 如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且． （１）求证：为定值； （２）当点A在半圆（）上运动时，求 点的轨迹． 【解析】因为所以三点共线 如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 (定值) (2)设其中则. 因为所以 由(1)的结论得所以从而 故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 2．函数的值域为 ． 3．设为正实数，，，则 ． 4．如果，，那么的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ． 7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ． 8．已知C，则数列中整数项的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，，求的值． 10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N． （1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小． 11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方． （1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若，求△的面积． 2010年全国高中数学试的值域是 . 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 . 函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷