2015年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷.docVIP

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 参考公式 圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高． 圆锥的体积公式：V圆锥＝13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高． 数学Ⅰ试题 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 3．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________． 5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 6．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 7．不等式2x2－x＜4的解集为________． 8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________． 11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列\f(1an))前10项的和为________． 12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 13．已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝0，0＜x≤1，|x2－4|－2，x＞1，)则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________． 14．设向量ak＝\a\vs4\al\co1(cos\f(kπkπ kπ6)(k＝0，1，2，…，12)，则k＝011 (ak·ak＋1)的值为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60° (1)求BC的长； (2)求sin 2C的值． 16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型． (1)求a，b的值． (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域． ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． 18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2)2，且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程． 19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪\a\vs4\al\co1(1，\f(32))∪\a\vs4\al\co1(\f(32)，＋∞)，求c的值． 20．(本小题满分16分)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列． (2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由． (3)是否存在a1，d及正整数n，k使得an1，an＋k2，an＋2k3，an