4.1.1圆的标准方程 2.pptVIP

4.1.1 圆的标准方程（1） 通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中， 直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？ 初中圆是怎样定义的？ 阅读教材118页并回答下面问题： （1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？ （2）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r，我们如何写出圆的方程？ 由定义求：圆心是A(a ,b)，半径是r的圆的方程 . r x A O y 设M(x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心A的 距离等于r，所以圆A就是集合 P ={ M | |MA|=r } 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。 M . 解： 若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程① ，反之，若点M的坐标满足方程① ，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. r x A O y M . …… ① 特点: 1.是关于x、y的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 即 a、b、r . 例1.写出下列各圆的方程： (1) 圆心在原点，半径是3； (2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3). 解： (1)由已知得圆的方程为： (2)由已知得半径： 即 故所求圆的方程为： 例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解： 由题意得圆心: 即 半径: 故所求圆的方程为： M在圆上，N在圆外，Q在圆内. 结论: 1.点M(x0, y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2有三种关系： 一般地， 练习：已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2)， 证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0． 证明： x A O y M . . N 设P(x, y)是圆上任意一点， 则由M,N是直径的端点知 . P 即 即为所求圆的方程. 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 解： 设所求圆的方程为： 则由A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)都在圆上得， 解得 故△ABC的外接圆的方程是： x y O A B C D 例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 解2： AB边中点： AB边斜率： AB边中垂线方程： 即 同样可求得AC边中垂线方程： 解方程组 得 圆心: 半径: 故△ABC的外接圆的方程是： x y O A B C D 变式.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的内切圆的方程. x y O A B C E 法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等 ，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径. 法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程. 例4.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2,－2 )，圆心C在直线l: x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程. 课后作业 2. 《优化探究》 4.1.1 1. 教材第90页 习题4.1 A组