4.2_8914757.ppt

④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc. 上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是　(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 【解析】选B.对于①, 因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c,即c=a-b, 故a=b+c成立,①正确; 对于②,因为b与c不共线, 由平面向量基本定理可知②正确; 对于③,以a的终点为圆心,以μ为半径作圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定满足,故③错误; 对于④,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|λb|+|μc|=λ+μ|a|,而给定的λ和μ不一定满足此条件, 所以④是假命题. 2.若a与b不共线,已知下列各组向量 ①a与-2b; ②a+b与a-b; ③a+b与a+2b; ④a- b与 a- b. 其中可以作为基底的是　　　　(只填序号即可). 【解析】因为a与b不共线,所以,对于①,显然a与-2b不 共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则存在实数λ,使 a+b=λ(a-b),则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛 盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对于 ③,a+b与a+2b也不共线;对于④, a- b= (a- b), 故a- b与 a- b共线.由基向量的定义知,①②③都 可以作为基底,④不可以. 答案:①②③ 3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD= BC,E,F分别为 线段AD与BC的中点.设 ,试用a,b为基底表 示向量 【解析】 考向二　平面向量的坐标运算 【典例2】(1)(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1), b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　. (2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =　　　　　. 【解题导引】(1)利用向量坐标的运算法则及向量坐标的唯一性列方程组求解. (2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解. 【规范解答】(1)因为a=(2,1),b=(1,-2),所以ma+nb=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n).又因为ma+nb=(9,-8),所以 解得 所以m-n=-3. 答案:-3 (2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如图, 则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2), c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+ μ(6,2),即 解得λ=-2,μ=- , 所以 =4. 答案:4 【母题变式】1.在本例题(2)中,试用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc, 则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c. 2.在本例题(2)中以a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴的正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系.若a+m=b,试求m的坐标. 【解析】在本例(2)规范解答中所建的平面直角坐标系下 a=(-1,1),b=(6,2), 因为a+m=b, 所以m=b-a=(6,2)-(-1,1)=(7,1). 【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误: 在其规范解答中所建的平面直角坐标系下,忽视向量的方向,误得a=(1,-1)从而导致解答出错. 【规律方法】平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则进行转化,通过列方程(组)来进行求解. 【变式训练】(2016·广州模拟)已知A,B,C三点的坐标 分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且 (1)求点E,F的坐标. (2)求证: 【解析】(1)设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则依题意,得 =(2,2), =(-2,3), =(4,-1). 所以 所以 =(x1,y1)-(-1,0)= =(x2,y2)-(3,-1)= 所以(x1,y1)= (x2,y2)= 所以点E的坐标为 点F的坐标为 * 第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算 【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量, 那