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3.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已 知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论中正确 的是　　　　.(写出所有正确结论的序号) ①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b; ④b∥ ;⑤(4a+b)⊥ 【解析】因为△ABC是边长为2的等边三角形, =2a, 所以| |=2|a|=2,|a|=1,故①正确; 因为 所以 =b?|b|=2,故②错误; 由于 =2a, =b,所以a,b=120°,故③错误,④正确; 又因为(4a+b)· =(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×1× 2×(- )+4=0,所以(4a+b)⊥ ,故⑤正确. 答案:①④⑤ 4.(2015·上海高考)已知平面向量a,b,c满足a⊥b,且{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},则|a+b+c|的最大值是 　　　　　. 【解析】分类讨论:因为a⊥b且{|a|,|b|,|c|}= {1,2,3}. ①当|c|=1时,|a+b|= |a+b+c|≤|a+b|+|c|= ②当|c|=2时,|a+b|= |a+b+c|≤|a+b|+|c|= ③当|c|=3时,|a+b|= |a+b+c|≤|a+b|+|c|= 又 所以|a+b+c|max= 答案: 考向三　平面向量与三角函数的综合问题 【典例5】(1)(2016·德州模拟)在△ABC中, (cos18°,sin18°), =(2cos63°,2cos27°),则三 角形的面积为(　　) (2)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向 量m= n=(sinx,cosx),x∈ ①若m⊥n,求tanx的值; ②若m与n的夹角为 ,求x的值. 【解题导引】(1)运用向量的数量积的坐标表示和定义,结合同角公式和诱导公式、两角和的正弦公式,即可得到cosB,sinB,再由三角形的面积公式,即可得到所求值. (2)①根据平面向量数量积的坐标运算列式求解;②根据平面向量数量积的定义和坐标运算求解. 【规范解答】(1)选B.由于 =(cos18°,sin18°), =(2cos63°,2cos27°), 则 =2cos18°cos63°+2sin18°cos27° =2(cos18°sin27°+sin18°cos27°) =2sin45°= ·cos(π-B)=-1×2cosB=-2cosB,即有cosB=- ,sinB= , 则三角形ABC的面积S= (2)①因为m= n=(sinx,cosx)且m⊥n, 所以m·n= ·(sinx,cosx) = sinx- cosx=sin(x- )=0,又x∈ 所以 所以x- =0即x= , 所以tanx=tan =1. 方法二:如图,向量 与 的夹角是∠EDC, 所以 在 上的投影是 【规律方法】向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 【变式训练】(2015·全国卷Ⅱ)已知a=(1,-1),b= (-1,2),则(2a+b)·a=　(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.由题意可得a2=2,a·b=-3, 所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1. 【加固训练】 1.(2016·长沙模拟)已知向量a=(1,2),a·b=5,|a- b|=2 ,则|b|等于　(　　) A.　　　 B.2　　　 C.5　　　 D.25 【解析】选C.由a=(1,2),可得a2=|a|2=12+22=5. 因为|a-b|=2 , 所以a2-2a·b+b2=20, 所以5-2×5+b2=20, 所以b2=25,所以|b|=5. 2.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=　(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选D.由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b= 2|a|2-a·b=2×5-a·b=3+2,故a·b=10-5=5. 3.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影为　(　　) 【解析】选A. =(2,1), =(5,5), 由定义知 在 方向上的投影为 4.(2016·湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a, =b, =c,