初中数学竞赛辅导七年级一有理数的巧算.docVIP

第一讲 有理数的巧算 　　有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 　　1．括号的使用　　 　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 　　例1 计算： 　　　　 　　分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 　　　 　　　 　　注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 　　例2 计算下式的值： 　　211×555+445×789+555×789+211×445． 　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) 　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789 　　　　 　=211×1000+1000×789 　　　　 　=1000×(211+789) 　　　　 　=1 000 000． 　　说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 　　例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 　　分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 　　解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 　　下面需对n的奇偶性进行讨论： 　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 　　例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　所以，所求最小非负数是1． 　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 　　2．用字母表示数 　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22． 　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 　　于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ① 　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 　　例5 计算 3001×2999的值． 　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999． 　　例6 计算 103×97×10 009的值． 　　解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919． 　　例7 计算： 　　分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 　　即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 　　例8 计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1