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摘要ABSTRACT目录1 前言最小二乘法的概述最小二乘法的起源最小二乘法的发展最小二乘法的研究现状线性最小二乘法的研究结果非线性最小二乘法的研究结果物理实验的数据采集与处理实验数据的采集分析测量值与误差测量包含两类:直接测量、间接测量。由于诸多因素的变化不可避免地导致实验数据不精准，也就是说，任何测量都无法做到绝对准确。在规定的客观条件下，被测物体的量的真实大小称为真值，记为，而测量值为通过测量得到的值，记为，则测量的绝对误差定义为：测量的相对误差定义为：误差的来源主要是仪器误差、环境误差、方法误差和个人误差。为了便于分析，可将其分为以下类别。（1）系统误差。系统误差会导致测量结果偏离真实值的结果，大部分实验测量过程中均有系统误差的出现。其特点是：尽管进行多次重复性的测量，也无法判定它的存在。（2）随机误差。这种误差是由于实验中各种因素的微小变化所引起的，即使再完美的实验仍会发现每次的测量结果均不同，完全是随机的。（3）粗大误差。因为测量仪器的损坏、测量人员的错误使用以及外界环境条件的约束都会导致粗大误差的产生。很显然这种误差测量的数据是不可用的，因此一经发现有粗大误差，数据应重新测量。如果条件不允许重新测量，可在适当的情况下将此类数据剔除。我们经常使用精密度对测量结果随机误差的大小进行衡量，用准确度来对系统误差的大小进行衡量。用射击打靶的结果对二者进行类比，如中（a）所示弹点分散，精密度不高，但弹点分布并没有固定的偏向，平均看去比较接近靶心，可认为准确度比较高；（b）则相反，弹点明显偏离靶心，准确度低，系统误差较大；但弹点比较集中，精密度较高；（c）不仅精密度高，准确度也高。假设系统只存在随机误差，根据大量实验数据得到：随机误差服从正态分布（也称高斯分布）的规律。 是随机误差正态分布曲线图，该曲线图的横坐标为误差，纵坐标即为误差的概率密度分布函数。根据统计理论证明，函数的具体形式为式中，是一个取决于具体测量条件的常数，称为标准误差。根据数学计算标明是曲线拐点的横坐标。当时，由式得由式可见，若标准误差减小则增大，误差分布曲线中间部分略高些，两边却快速下降。总而言之，曲线越窄表示测量的离散型越小，精密度越高,反之亦然。如所示。由定义得到在[-,+]区间内某次测量随机误差出现的概率为同样在[-2,+2]区间内得到随机误差出现的概率为在[-3,+3]区间内得到随机误差出现的概率为与以上三个积分式所对应的面积如所示。通过以上分析可以得到标准误差所表示的统计意义。当测量某一测量量时，误差落在-到+之间的可能性为68.3%，误差落在-2到+2之间的可能性为95.5%，而误差落在-3到+3之间的可能性为99.7%[6]。测量结果的不确定度评定对实验所得数据进行处理时，要在误差分析之后，评定其不确定度。总不确定度是由A类不确定度与B类不确定度组成，其中A类不确定度是由随机误差作出的数学规定加以量化，而B类不确定度则是由系统误差作出的数学规定加以量化。（1）A类不确定度分量（简称A分量）：用表示（脚标代表A类不确定度的第个分量）。设多次测量所得到的测量值为,,…，可通过贝塞尔公式计算被测量的不确定度的分量（2）B类不确定度分量（简称B分量）：用表示（脚标代表B类不确定度的第个分量）。首先我们应该对极限误差进行估算，而后根据极限误差分析其分布规律计算得到置信系数，最后计算标准偏差，用以作为该项不确定度的B分量，即物理实验中多数规律呈现的是正态分布和均匀分布。当误差服从均匀分布时取，当误差服从正态分布时取3。若以为置信因子，为总不确定度，则取1，2，3时，的置信概率分别为68.3%，95.5%，99.7%；应该注意的是对应的置信概率应该在测量结果后面标明。在有限次测量的条件下，用算术平方根作为真值的最佳估计是合理的。即测量结果可用下式表示式中，是总不确定度。也就是说，被测量的真值落在(，)区间内的概率为由置信因子确定。有效数字什么是有效数字呢？具体地说就是能够正确表示测量、运算结果的数字。有效数字的位数一般按如下方法确定：从左至右，由第一个不为0的数字开始到最后一位，有多少个数字（包括0），有效数字就是多少位。通常，当我们读测量结果时，读出的有效数字位数应该比测量仪器分度值大一位，当单位改变时位数不发生变化仅小数点位置发生相应变化。对有效数字的修约规则可归结为：5下舍5上入，整5时前位凑偶数，但不确定度只入不舍。尤其注意进行乘法运算时，以数据中有效数字位数最少为基准，而其它的数据则按照有效数字修约规则对齐后进行运算。这样做可以避免无意义的冗长运算。如中，由于三个数中8.4的有效位数最少，只有两位，故结果应保留两位有效数字，写为3.1。实验数据的处理方法实验数据处理的方法有很多，下面主要介绍四种最常用的方法。列表法列表是有序记录原始数据的必要手段，