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第9章 非正弦交流电路 学习指导与题解 和频率，不同的是波形而已。 几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波，可以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。这些一系列频率为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，称为基波或一次谐波；频率是基波频率2倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率3倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率倍的正弦波，称为次谐波，为正整数。 人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。 （二）关于谐波分析的方法 在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。 一人周期为的函数，如果满足狄里赫利条件﹡，则可以展开为如下三角级数： 这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（）提出来的，故称为傅里叶级数。式中，，称为傅里叶系数，由如下公式计算得出： 是一周期时间内的平均值，称直流分量。的正弦波，称为基波；的正弦波，称为二次谐波；的正弦波，称为次谐波。当为奇数时，称为奇次谐波；为偶数时，称为偶次谐波。 非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。 在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级数。常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供查用。 常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式 波 形 图 傅里叶级数展开式 ﹡ 狄利赫利条件：在〔，〕 或〔0，〕区间，（1）除有限个第一类间断点外，其余各点连续；（2）只有有限个极点。 波 形 图 傅里叶级数展开式 （三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系 在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。在对称波形中，傅里叶级数中，有些谐波分量（包括直流分量。因直流分量是的零次谐波分量）不存在。因此，利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。 1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。 （1）偶函数 波形对称于纵坐标，满足 =条件，如图9-1所示。则，傅里叶级数 中只含和项，=1，2，3，…。亦即 这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦 函数的谐波分量。 （2）奇函数 波形对称于坐标原点，满足 图9-1 偶函数波形举例 条件，如图9-2所示。则， =0，傅里叶级数中，只含项，=1，2，3，…。亦即这类对称性非正弦周期波，只含一系列正弦函数的谐波分量。 （3）奇半波对称函数 若波形移动半周与 原波形成镜像，即对横轴对称，满足条件。如图9-3所示，波形不对称于纵轴和原点，故它 图9-2 奇举例 与原波形对称于 横轴，则傅里叶系数中，，和中为奇数，即=1，3，5，…。这类非正弦周期波只含奇次谐波。所以，这类奇半波对称函数，称为奇谐波函数。 以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面 再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。 （4）半波重叠函数 若波形移动半波 与原波形重叠，满足条件。如图9-4 所示，不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动与原波形重叠。则傅里叶系数 图 9-3 奇半波对称波形举例 和中为偶数，即=0，2，4，6，…。这类非正弦周期波只含偶次谐波。所以，这类半波重叠函数，称为偶偕波函数。 图 9-4 半波重叠函数波形举例 图 9-5 奇函数且半波对称波形举例 （5）奇函数且奇半波对称 若波形满足和两个条件。如图9-5所示，波形对称于原点，是奇函数，且移动与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系数中，，中为奇数，即=1，3，5…。傅里叶级数中只含项的奇次谐波。所以，这类奇函数且半波对称波，只含正弦函数的奇次谐波。 (6) 偶函数且奇半波对称 波形满足 =和两个条件。如图9-6所示，波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系，中为奇数，即=1，3，5…。傅 里叶级数中只含项的奇次谐波。所以，这 类偶函数且奇半波对称对称波，只含余