§1~3二次函数的最大值与最小值..doc

§1~3二次函數的最大值與最小值 壹、補充重點 (1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表： 名稱 已 知 條 件 結 論 最 大 值 的 應 用 (自然數N分成兩數 x，y 當x=y=時， x與y的乘積最大 最大乘積= (定長m圍成一矩形時 以正方形面積為最大，其邊長為 最大面積= 最 小 值 的 應 用 (自然數N分成兩數 x，y 當x=y=時， x與y的平方和最小 最小平方和= (定長m分成兩線段 a，b分別為邊各作一正方形 當a=b=時，兩正方形面積和為最小 最小面積和= (兩正數之積為定值k時(xy=k，x0，y0) 當x=y=時， x+y的和最小 最小的和：x+y=2=2 (設矩形的長，寬分別為x，y，若其面積一定時 當x=y時， 矩形周長為最小 最小的周長=4 (2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值：函數y=f(x) (若頂點位於範圍( ( x ( (內時，圖形如下： 若頂點為(m,n)而圖形二端點為((,f(())，((,f(())，則n，f(()，f(()三者中(較小者為最小值，(較大者為最大值。 (若頂點不位於範圍( ( x ( (內時，圖形如下： 圖形二端點為((,f(())，((,f(())，則f(()，f(()二者中(較小者為最小值，(較大者為最大值。 (3)最大值與最小值的求法，除可利用二次函數來求外，尚可利用下列的方法： (利用 ( (算術平均數)((幾何平均數) 例：二正數x，y，若xy=24，求2x+3y之最小值。 ∵ ( 2x+3y ∴ 2x+3y(2=24 故最小值為24 (利用∣a∣+∣b∣(∣a+b∣ 例：設x為實數，求∣x+2∣+∣x-5∣之最小值。 ∵∣x+2∣+∣x-5∣=∣x+2∣+∣5-x∣(∣(x+2)+(5-x)∣ =7 ∴∣x+2∣+∣x-5∣(7 故最小值為7 (利用一元二次方程式D(0 例：設k為實數，方程式x2-(k-1)x+(k2-1)=0有實根，求k之最大值與最小值。 ∵方程式有實根 ∴D(0[-(k-1)]2-4×1×(k2-1)(0 (k-1)(k-1-4k-4)(0 (k-1)(3k+5)(0 ∴ 1(k(-，故 k之最大值為1，最小值為-。 (分式型：當分子為定值，分母最大時分式的值為最小；分母最小時分式的值為最大。 例：設x為實數，求y= 之最大值。 ∵ x2+2x+4=(x2+2x+1)+3=(x+1)2+3(3 ∴當x=-1時，x2+2x+4有最小值3，此時y有最大值=4。 (利用配方 例：設x，y為實數，A=x2+y2+4x-6y+20，求A之最小值。 ∵A=x2+y2+4x-6y+20=(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+7 =(x+2)2+(y-3)2+7(7 ∴A之最小值7。 貳、例題 例1.y=2x2+2x-3，試求此二次函數之最小值？ 【答：】 解： 例2.二次函數y=-3x2+ax+b，當x=3時，有最大值4，則a=？b=？ 解： 【答：18、-23】 例3.二次函數y=ax2+bx+c，當x=3時，有最小值-2，且圖形通過 (0，7)，則a=？b=？c=？ 【答：1、-6、7】 解： 例4.二次函數y=x2-6x+10，當1時，試求y之最大值與最小值？ 【答：5、1】 解： 例5.二次函數y=x2-2x+4，當2時，試求y之最大值與最小值？ 【答：7、4】 解： 例6.x為正整數，則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為？ 【答：7】 解： 例7.晴晴向上拋擲一球，經t秒後距離地面s公尺，且有s=30t-5t2之關係式，試問此球擲出後，距離地面最高可達多少公尺？ 解： 【答：45公尺】 例8.A、B為數線上兩點，座標分別為7、2，試在座標上求一點P，使得為最小？ 【答：】 解： 例9.設a：b=1：2且b：c=3：4，試求ab-bc+ac+c之最大值？ 解： 【答：】 例10.某人以長100公尺的鐵絲網，在河邊圍一長方形之菜園，河邊當作一直線不圍，試求所能圍成的最大菜園面積？ 解： 【答：1250平方公尺】 例11.x0、y0，2x+y=6，試求xy之最大值？ 【答：】 解： 例12.a0、b0，試求之最小值？ 【答：2】 解： 例13.y=|x-4|+|x-3|，試求y之最小值？ 【答：1】 解： 例14.y=|x|+|x-1|+|x-2|，試求y之最小值？ 【