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§8 Mathematica进行代数运算和求极限 8.1 Mathematica进行代数运算 代数表达式泛指含有未知数的表达式，如、等都属代数表达式。因为未知数也可以看作是符号式。我们对代数的运算应该不感到陌生，例如，多项式的因式分解与展开、分式的约分与化简，以及解方程等等都属于代数运算。 算术运算 Mathematica最基本的功能是进行算术四则运算：加、减、乘、除，注意用＂^＂代表乘幂。如果输入的数字都不含小数点时，输出的结果是完全正确的(不管含有多少位，也可以是不可以约分式)。 如： 如需得到近似数，只要在输入的表达式中有一个数字是含小数点的： 或者使用函数N[]： 尽管Mathematica允许在算术表达中用空格代替乘号，但是建议大家不要轻易省略“*”号，以免造成混乱。 在Mathematica中，数学上的和式用“Sum”表示，连乘符号用“Product”表示，它们的用法是： (*从到计算的和式*) (*从到以步长计算的和式*) (*计算两重和式（先做循环）*) (*给出和式的近似值*) (*从到计算的乘积*) (*从到以步长计算的乘积*) (*计算两重乘积（先做循环）*) 例8.1 当步长id=1时，可以省略。例如： Mathematica可以求一些无穷项的和式。例如： 也可以求和式的近似值。例如： 在乘积的工作原理同累加的一样。 例8.2 分式运算 设与是两个多项式，且≠0，则形如/的表达式称为变量X的分式(rational functions of X)，而函数与分别称为分式的分子(numerator)与分母(denominator)。 (1) 分式的运算 分式的运算除了包括我们早已经熟悉的四则运算外，还包括分子与分母的提取、分式的约分以及分式的排列与组合等等。在本节中将为你一一介绍有关分式运算的命令。有如下四种基本运算命令： [1] (*提取的分母*) [2] (*提取的分子*) [3] (*展开的分母*) [4] (*展开的分子*) 例8.3：定义分式expr。 提取的分子。 展开的分母，分子保留原来的格式。 命令能把分式完全展开。 使用右边的命令格式能把分子与分母同时展开。 解方程 求方程的解 例8.3 解方程。 按下面方式输入一个方程： 这里必须用“==”代替“=”，因为在Mathematica中等号“=”表示赋值或定义变量的值，而代数方程中的等号使用逻辑等号“==”表示。 如果希望得到它的解，可以用命令： 这样得到了方程的两个解。 解的这种形式称为逻辑表达式，它还可以继续参加后面的运算。如： 我们可以用Solve命令求方程的解，一般形式是： 和 。 前者是找出方程的精确解，对四阶或以下的多项式方程，Mathematica总可以求出准确解，当然准确解的形式有时可能相当复杂。而对四阶以上的多项式方程由于数学理论上的障碍常不能给出精确解，这时就要用后面一个函数来求数值解。如： 表示找不到精确解，但可以进行数值求解： 求方程组的解 我们还可以用Solve命令求方程组的解，语法结构与解单个方程相同，只要把所有的方程式与变量用{}括起来即可。 求里的变量的值 例8.4 （1） 解方程组 ； 解： 方程组的系数不一定是数值，也可以是符号。 （2） 解方程组 ； 解： 同样，也可以解含有绝对值的方程组 。 （3） 解方程组 ； 解： （4） 解方程组 。 解： 注意：因为方程组中含有三角函数，所以命令输出警告信息，提示我们有些解可能会被遗漏。 8.2 Mathematica进行求极限 在Mathematica系统中，求极限的函数为，其形式如下： (*当时函数的极限*) (*当时函数的左极限*) (*当时函数的右极限*) 例8.5 求下列极限。 ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： 注意：计算连加号或连乘号表示的数列的极限，可以先用过程定义函数，然后取极限。 对于函数 x=5:50; y=1./x;plot(x,y,r), axis([5,