§4-5反常积分..doc

§4-5 反常积分-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限. 1.奇异积分 按照正常积分，函数在区间上不可积，因为它在区间上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数，函数在区间上是可积的，而且有极限 我们将把这个极限值称为函数在区间上的奇异积分，并记成 它在几何上表示由曲线、竖直线和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为单位平方). 一般地，设函数在(左开右闭)区间上连续，而在点近旁无界[这样的点就称为函数的奇点](图4-31).我们形式上就定义奇异积分为 所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，仅是一个记号. 例20 ， 其中当时， 当时， 当时， 综上所述：当时，奇异积分收敛； 当时，奇异积分发散. 【注】当时，是正常积分. 计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数在区间上连续(是奇点)，是它的一个原函数，则有 其中. 而且，当有极限时，奇异积分收敛；当没有极限时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成 (*) 事实上，奇异积分与正常积分是相通的，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如， (奇异积分)(正常积分) 同样，若函数在(左闭右开)区间上连续且点是奇点(图4-32)，则也可形式上定义奇异积分 而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20 那样，可以证明奇异积分 当时收敛，而当时发散. 积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如 , 或, (偶函数的积分) 或. (换元积分法) 函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点是函数的奇点，而且函数在区间和上连续，则可形式上定义奇异积分 请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的. 因为奇异积分实际上是函数的极限，所以有下面的结论： ⑴若奇异积分和都收敛，则也收敛，且有 (线性运算性质) ⑵若奇异积分和中有一个收敛，另一个发散，则 必发散. 但是请读者注意，若奇异积分和都发散时，则有可能收敛. 在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法. 柯西判别法 设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，使 (4-22) 则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使 (4-23) 则奇异积分发散. 证 当满足条件(4-22)时，则有 于是，对于任意正数，根据积分单调性，有 其中右端是与无关的正常数，即作为的函数 有上界； 又当时，函数是增大的，所以有极限(单调有界原理) 因此，也有极限 即奇异积分收敛. 其次，当条件(4-23)满足时，函数不变号[因为是连续函数]，不妨认为.根据例20，则有 即奇异积分发散. 我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法： 设函数在区间上连续(是奇点).若有某个正数和某个正数，使 则奇异积分收敛；相反，若有某个和某个正数，使 则奇异积分发散. 例21 研究奇异积分的敛散性. 解 点和点都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即 （0是奇点） （1是奇点） 在右端第一个积分中，因为 根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为 （注意上限是奇点） 根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分收敛. 2.无穷积分 在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即 ，或，或 它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线与轴和直线围成的无界图形的面积，规定为极限 (单位平方) 是合理的. 再如放置在原点处带有正电量的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-34).