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选修2-3《第二章随机变量及其分布》本章归纳整合
网络构建 专题归纳 解读高考 知识网络 本 章 归 纳 整 合 知识网络 离散型随机变量及其分布列 (1)随机变量:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字母X,Y,ξ,η等表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. (3)离散型随机变量的分布列: 要点归纳 一、 1. 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2…,xi,…xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,…,n; (5)常见的分布列: 两点分布:如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. X 0 1 P 1-p p X 0 1 … m P … 其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布. 二项分布及其应用 2. (2)条件概率的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ②必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; (4)独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. (5)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.两点分布是当n=1时的二项分布,二项分布可以看成是两点分布的一般形式. 离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 3. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)均值与方差的性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X). (3)常见分布的均值和方差公式:①两点分布:若随机变量X服从参数为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p). ②二项分布:若随机变量X~B(n,p),则均值E(X)=np,方差D(X)=np(1-p). ④曲线与x轴之间的面积为1. (3)μ和σ对正态曲线的影响: ①当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; ②当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (4)正态分布的3σ原则:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则. 专题一 条件概率 解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合” (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质; 第二步,判断事件的运算; 第三步,运用公式. (2)概率问题常常与排列、组合知识相结合. 2. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 解 设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB. 【例1】 求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解. 特别注意以下两公式的使用前提 (1)若A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立. (2)若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),反之成立. 专题二 相互独立事件的概率 1. 2. 【例
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