智能控制讲义第三章模糊控制的数学基础要素.doc

第3章 模糊控制的数学基础 3.1 概述 模糊数学为模糊系统与模糊控制的发展提供了起点和基本语言。模糊数学本身就是一个巨大的领域，其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集合概念而发展来的。按照这种方式，所有的经典数学分支都可以被“模糊化”，于是诞生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支。显然，模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去。本章仅仅介绍后续模糊控制器设计中所用到的相关内容。 在现实生活中，人们接触过很多概念。任何一个概念都有着其内涵和外延。概念的内涵是这一概念的本质属性，而概念的外延是指符合这一概念的对象范围。当我们谈论某一个概念的外延时，总离不开一定的讨论范围。如我们讨论“工业控制计算机”这一概念时，自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物，如汽车、机床或老鼠、大象等。我们讨论的这个范围称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合。对于这些明确的概念，我们可以用德国数学家康托(Contor Georg, 1845-1918)提出的经典集合来表示。对于这种具有明确外延的概念，即对于一个具体的对象来说，它要么属于这个概念的范围，要么不属于这个概念的范围。集合的特征函数描述了这个明确的外延。 然而，在现实生活中，有许多问题不能用Contor集合来描述，即，这些概念没有明确的外延。这种没有明确外延的概念我们称之为模糊概念。如，青年人、老年人、高个子、好人等概念。1965年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh提出了模糊集合理论，解决了对这类概念的描述。模糊集合理论将Contor集合论中的概念拓展，即，把特征函数的取值范围从{0，1}扩充到[0，1]，不再把论域中的某个对象说成是属于这个集合还是不属于这个集合，而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少。 3.2 普通集合及其运算性质 一、集合的基本概念 表3-1给出了普通集合的最基本概念。 表3-1 集合的基本概念 1 论域 由被考虑对象的所有元素的全体组成的基本集合称为论域，用大写字母U、E等表示。 2 元素 论域中的每个对象，称为元素，用小写字母a、b等表示。 3 集合 给定一个论域，其中具有某种共同属性的、确定的、彼此间可以区别的元素的全体称为集合。它是指具有同一本质属性的全体事物的总和，用大写字母A、B等表示。 对于论域U中的元素a及任意一个集合A，它们的关系只有两种，属于与不属于，表示为，或。 4 空集 集合中不包含任何元素，这样的集合称为空集，表示为Ф。 5 全集 集合中包含论域里的全部元素，这样的集合称为全集，表示为E。 6 包含 设A、B是论域U的两个集合，若，则称集合B包含集合A，表示为，或称A包含于B，表示为。 7 相等 设A、B是论域U的两个集合，若与同时成立，则称A=B，表示为。 8 子集 设A、B是论域U的两个集合，若集合B中的所有元素是由集合A中的部分元素或全部元素组成，则称集合B是集合A的子集。表示为或。空集是任意集合的子集。 9 幂集 给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合称为A的幂集。表示为P（A），即，P（A）={B是A的子集}。 10 并集 设有任意两个集合A和集合B，若集合C是由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，则C称为A和B的并集。表示为： ，并被定义为：。 11 交集 设有任意两个集合A和集合B，若集合C是由同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，则C称为A和B的交集。表示为： ，并被定义为：。 12 补集 设集合A为论域E上的一个集合，由论域E中不属于A的所有元素组成的集合称为A的补集。表示为：。定义为： 。 幂集举例： 设集合A={3，6，8}，求其对应的幂集。 解： 根据幂集的定义，可知集合A的幂集为 P（A）={Φ，{3}，{6}，{8}，{3，6}，{3，8}，{6，8}，{3，6，8}}， 即集合A的幂集有8个元素。 二、集合的运算性质 设集合A、B、C?E，其交、并、补运算具有如下性质： 表3-2 集合运算性质 1 幂等律： A∩A=A，A∪A=A； 2 交换律： A∪B= B∪A， A∩B= B∩A； 3 结合律： （A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）； 4 分配律： A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）； 5 同一律： A∩Ф=Ф，A∪Ф=A，A∩E=A，A∪E=E； 6 吸收律： A∪（B∩A）=A，A∩（B∪A）=A； 7 互补律： A∩Ac=Ф，A∪Ac=E； 8 还原律： （Ac）c=A； 9 对偶律： （A∪B）c=A c∪B c，（A∩B）c=A c∩B c