“球类”运动中的二次函数..doc

“球类”运动中的二次函数 数学和生活息息相关，数学就在你的身边. “新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动项目中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下. 一、跳绳运动中的二次函数 　例1　你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（　　） 　　A．1.5m　　　B．1.625m　　　C．1.66m　　　D．1.67m y 　　分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标． 　　解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得 A—B+C=1， A= —1/6， C=1.5， 解得 B=1/3， 9A+3B+C=1． C=1.5． 　　所以函数表达式为y= —x2+x+．当x=1.5时，y=1.625． 　　答案：B． 二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题 例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚作了如下探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°，45°，60°方向推了三次.铅球推出后沿抛物线形运动，如图，小明推铅球时的出手点距离地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴，以地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表： 推出铅球的方向与水平线的夹角 30° 45° 40° 铅球运行所得到的抛物线解析式 y1=-0.06(x-3)2+2.5 y2=___(x-4)2+3.6 y1=-0.22(x-3)2+4 故测铅球在最高点的坐标 P1(3 , 2.5) P2(4 , 3.6) P3(3 ,4) 铅球落点到小明站立处的水平距离 9 .5m ________m 7.3m (1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上； (2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议. 分析：本题以“体育活动中铅球投掷的远近”为课题，为学生设置了一个探究的数学广场.试题设计起点较低，题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型，而且已有二次函数的解析式的雏形，只要用待定系数法且发现出手点（0，2）在抛物线上，问题便迎刃而解.至于求铅球落点到小明站立处的水平距离只需令所求抛物线的解析式中的y2=0，求得到抛物线与x轴交点的横坐标即可. （1）观察表格提供的信息有与水平成30°、60°的方向投掷铅球轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最高点和最远点的距离，让考生探究沿45°方向投掷时行走的轨迹（抛物线）的解析式及铅球投掷的最大水平距离.我们可设“推铅球的方向与水平线成45°”时形成的抛物线的解析式为y2=a(x-4)2+3.6又出手点（0，2）在抛物线上，故有16a+3.6=2，解之，得a=－0.1，欲求铅球落点到小明站立处的水平距离，即求当y2=0时与x轴交点的横坐标.因而有-0.1(x-4)2+3.6=0，解之得x1=-2，（舍去）x2=10，所以铅球落点到小明站立处的水平距离为10米. 例3一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图2所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线） ⑴由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式． ⑵求出铅球被推出的距离． ⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积． 分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出