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初中数学专题辅导 应用方程处理问题 在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。 在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。 【考点解析】 例. 张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50吨面粉和第二仓库的70吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40吨面粉，乙厂接收80吨面粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如果1吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最低？ 表一 分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问题转化为数学问题。 表二 解：假设张清安排的运输方案如表二，那么应满足下面的数量关系： 也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以把分别用表示出来。 如果设总运费为N，那么有 所以，只要取最大值40，总运费N取最小值670，也就是说，由第一仓库给甲厂运40吨面粉，给乙厂运10吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70吨面粉，即完成了给定任务，还使总运费最省，共计670元。 点评：本题是2001年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把分别用表示出来，然后由的取值范围确定运费N的最小值。 【例题分析】 例1 一件工作，由甲单独作需要24个小时，由乙单独做需要18个小时，现在先由甲单独作6个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？ 分析：若直接设元，则设完成这件工作需要x个小时，列方程解出x即可。若间接选元则可以设甲、乙合作用了x个小时，则x＋6就是问题要求的未知量。 解法1：(直接设元)设完成这件工作共需x个小时，由已知甲先工作了6个小时，则甲、乙合作了(x－6)个小时。设全部工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意列方程： 答：共需小时完成全部工作。 解法2：(间接设元)设甲先工作6小时后，甲、乙又合作x个小时，由题意，得： 整理得： 答：完成这件工作需小时。 小结：本题解法1和解法2表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，可以采用间接选元的方法。 例2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99。求原来的三位数。 分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。 解：设原来的三位数的十位上的数为x，则它的百位上的数为2x＋1，个位上的数为3x－1，这个三位数表示为： 100(2x＋1)＋10x＋(3x－1) 把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到： 100(3x－1)＋10x＋(2x＋1) 根据题意，得方程： 100(3x－1)＋10x＋(2x＋1)＝100(2x＋1)＋10x＋(3x－1)＋99 解这个方程，得： 99x＝198＋99 答：原来这个三位数是738。 例3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过2号桥20分钟以后到达A处，发现在二号桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距2公里，求水流速度。 分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20分钟和两桥间相距2公里。如果只设水流速度为每分钟x公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未知数，以建立等量关系列出方程。 解：设船速为每分钟a公里，水流速度为每分钟x公里，依题意列方程： 经检验知是原方程的解，并且符合题意。 答：水流速度为每分钟0.05公里。 例4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为3％；第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为2％，求第三次加入同样多的水后盐水